Title: MatheChecks / stochastik / zufallsgroessen / Check03
On every note of this deck, unless a note says otherwise:
Head: MatheChecks
Zufallsgrößen 3i

Frage: Ein Würfelspiel ist so gestaltet, dass man je nach Augenzahl einen bestimmten Geldbetrag erhält. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn. Es gilt: \( E(X) = 4{,}2 \) €, \( \sigma = 1{,}3 \) €.
Was bedeutet der Erwartungswert von 4,2 € in diesem Kontext?
Antwort: Im Durchschnitt kann man bei dem Spiel 4,2 € Gewinn erwarten.

Frage: Ein Würfelspiel ist so gestaltet, dass man je nach Augenzahl einen bestimmten Geldbetrag erhält. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn. Es gilt: \( E(X) = 4{,}2 \) €, \( \sigma = 1{,}3 \) €.
Welche Rolle spielt die Standardabweichung von 1,3 €?
Antwort: Die Standardabweichung zeigt, wie stark die möglichen Gewinne um den Mittelwert schwanken.

Frage: Ein Würfelspiel ist so gestaltet, dass man je nach Augenzahl einen bestimmten Geldbetrag erhält. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn. Es gilt: \( E(X) = 4{,}2 \) €, \( \sigma = 1{,}3 \) €.
Ist ein Gewinn von 6 € ungewöhnlich?
Antwort: Ein Gewinn von 6 € liegt etwa 1,4 Standardabweichungen über dem Mittelwert und ist daher noch im normalen Bereich.

Frage: Ein Unternehmen analysiert die wöchentliche Anzahl verkaufter Produkte. Die Zufallsgröße X gibt diese Zahl an. Es gilt: \( E(X) = 850 \), \( \sigma = 120 \).
Wie ist der Erwartungswert zu interpretieren?
Antwort: Im Durchschnitt werden pro Woche 850 Produkte verkauft.

Frage: Ein Unternehmen analysiert die wöchentliche Anzahl verkaufter Produkte. Die Zufallsgröße X gibt diese Zahl an. Es gilt: \( E(X) = 850 \), \( \sigma = 120 \).
Was sagt die Standardabweichung über den Verkauf aus?
Antwort: Die Standardabweichung zeigt die Schwankungsbreite der wöchentlichen Verkaufszahlen.

Frage: Ein Unternehmen analysiert die wöchentliche Anzahl verkaufter Produkte. Die Zufallsgröße X gibt diese Zahl an. Es gilt: \( E(X) = 850 \), \( \sigma = 120 \).
Wie ist eine Woche mit 1.100 Verkäufen zu bewerten?
Antwort: 1.100 Verkäufe liegen über zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert und sind daher eher ungewöhnlich.

Frage: Die tägliche Anzahl Kunden in einem Café ist eine Zufallsgröße K mit \( E(K) = 95 \), \( \sigma = 20 \).
Was bedeutet der Erwartungswert 95 in diesem Fall?
Antwort: Im Durchschnitt besuchen 95 Kunden täglich das Café.

Frage: Die tägliche Anzahl Kunden in einem Café ist eine Zufallsgröße K mit \( E(K) = 95 \), \( \sigma = 20 \).
Welche Aussage lässt sich über die Standardabweichung treffen?
Antwort: Die Standardabweichung zeigt, wie stark die Besucherzahlen von Tag zu Tag schwanken.

Frage: Die tägliche Anzahl Kunden in einem Café ist eine Zufallsgröße K mit \( E(K) = 95 \), \( \sigma = 20 \).
An einem Tag kamen 130 Kunden. Ist das außergewöhnlich?
Antwort: 130 liegt fast zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert und ist daher ein besonders besuchsstarker Tag.

Frage: Eine Fabrik produziert täglich eine bestimmte Menge an Schrauben. Diese Produktionsmenge wird als Zufallsgröße P modelliert. Es gilt: \( E(P) = 10.000 \), \( \sigma = 600 \).
Was bedeutet der Erwartungswert von 10.000 in diesem Zusammenhang?
Antwort: Im Durchschnitt produziert die Fabrik täglich 10.000 Schrauben.

Frage: Eine Fabrik produziert täglich eine bestimmte Menge an Schrauben. Diese Produktionsmenge wird als Zufallsgröße P modelliert. Es gilt: \( E(P) = 10.000 \), \( \sigma = 600 \).
Wie kann die Standardabweichung bei der Planung helfen?
Antwort: Die Standardabweichung zeigt die tägliche Schwankung und hilft, Kapazitäten und Lagerung besser zu planen.

Frage: Eine Fabrik produziert täglich eine bestimmte Menge an Schrauben. Diese Produktionsmenge wird als Zufallsgröße P modelliert. Es gilt: \( E(P) = 10.000 \), \( \sigma = 600 \).
An einem Tag wurden nur 9.000 Schrauben produziert. Ist das noch innerhalb der üblichen Schwankungen?
Antwort: 9.000 liegt mehr als eine Standardabweichung unter dem Mittelwert, ist aber noch nicht extrem ungewöhnlich.

Frage: Die Tageshöchsttemperatur im April wird als Zufallsgröße T betrachtet. Es gilt: \( E(T) = 15{,}2\,°C \), \( \sigma = 3{,}1\,°C \).
Was sagt der Erwartungswert über den April aus?
Antwort: Der April hatte im Durchschnitt 15,2 °C als Tageshöchsttemperatur.

Frage: Die Tageshöchsttemperatur im April wird als Zufallsgröße T betrachtet. Es gilt: \( E(T) = 15{,}2\,°C \), \( \sigma = 3{,}1\,°C \).
Was bedeutet die Standardabweichung in °C?
Antwort: Die Standardabweichung von 3,1 °C zeigt die natürliche Schwankung des Wetters.

Frage: Die Tageshöchsttemperatur im April wird als Zufallsgröße T betrachtet. Es gilt: \( E(T) = 15{,}2\,°C \), \( \sigma = 3{,}1\,°C \).
Ein Tag hatte nur 8,5 °C Höchsttemperatur. Wie lässt sich das einordnen?
Antwort: 8,5 °C liegt mehr als zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert und ist daher ein ungewöhnlich kühler Tag.

Frage: Die Anzahl täglicher Klicks auf eine Online-Anzeige ist eine Zufallsgröße K mit \( E(K) = 250 \), \( \sigma = 45 \).
Wie ist der Erwartungswert zu interpretieren?
Antwort: Im Schnitt erhält die Anzeige 250 Klicks pro Tag.

Frage: Die Anzahl täglicher Klicks auf eine Online-Anzeige ist eine Zufallsgröße K mit \( E(K) = 250 \), \( \sigma = 45 \).
Welche Rolle spielt die Standardabweichung für das Marketing?
Antwort: Die Standardabweichung zeigt, wie stark die Klickzahlen schwanken, z. B. bei saisonalen Effekten.

Frage: Die Anzahl täglicher Klicks auf eine Online-Anzeige ist eine Zufallsgröße K mit \( E(K) = 250 \), \( \sigma = 45 \).
Was bedeutet ein Wert von 320 Klicks?
Antwort: 320 Klicks liegen mehr als 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert – eine positive Abweichung.

Frage: Die Wartezeit in Minuten an einer Supermarktkasse wird durch die Zufallsgröße W beschrieben. Gegeben sind: \( E(W) = 4{,}8 \), \( \sigma = 1{,}2 \).
Was bedeutet der Erwartungswert?
Antwort: Im Schnitt wartet eine Kundin oder ein Kunde 4,8 Minuten.

Frage: Die Wartezeit in Minuten an einer Supermarktkasse wird durch die Zufallsgröße W beschrieben. Gegeben sind: \( E(W) = 4{,}8 \), \( \sigma = 1{,}2 \).
Wie hilft die Standardabweichung dem Filialleiter?
Antwort: Die Standardabweichung zeigt, wie stabil der Ablauf an der Kasse ist.

Frage: Die Wartezeit in Minuten an einer Supermarktkasse wird durch die Zufallsgröße W beschrieben. Gegeben sind: \( E(W) = 4{,}8 \), \( \sigma = 1{,}2 \).
Ist eine Wartezeit von 7 Minuten noch normal?
Antwort: 7 Minuten liegen fast zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert – das ist eher selten.

Frage: Die tägliche Besucherzahl eines Museums wird als Zufallsgröße B modelliert. Es gilt: \( E(B) = 1.400 \), \( \sigma = 300 \).
Was sagt der Erwartungswert aus?
Antwort: Im Durchschnitt besuchen 1.400 Personen das Museum pro Tag.

Frage: Die tägliche Besucherzahl eines Museums wird als Zufallsgröße B modelliert. Es gilt: \( E(B) = 1.400 \), \( \sigma = 300 \).
Welche Bedeutung hat die Standardabweichung für das Personalmanagement?
Antwort: Die Standardabweichung zeigt, wie stark die täglichen Besucherzahlen schwanken.

Frage: Die tägliche Besucherzahl eines Museums wird als Zufallsgröße B modelliert. Es gilt: \( E(B) = 1.400 \), \( \sigma = 300 \).
Wie ist ein Wert von 1.050 zu bewerten?
Antwort: 1.050 liegt etwas über einer Standardabweichung unter dem Mittel – ein etwas schwächerer Tag.

Frage: Die Dauer eines automatisierten Arbeitsvorgangs in Sekunden wird mit D modelliert. Es gilt: \( E(D) = 18{,}0 \), \( \sigma = 0{,}6 \).
Wie kann der Erwartungswert technisch interpretiert werden?
Antwort: Die durchschnittliche Vorgangsdauer beträgt 18 Sekunden.

Frage: Die Dauer eines automatisierten Arbeitsvorgangs in Sekunden wird mit D modelliert. Es gilt: \( E(D) = 18{,}0 \), \( \sigma = 0{,}6 \).
Was bedeutet die kleine Standardabweichung?
Antwort: Die geringe Standardabweichung zeigt, dass die Anlage sehr zuverlässig arbeitet.

Frage: Die Dauer eines automatisierten Arbeitsvorgangs in Sekunden wird mit D modelliert. Es gilt: \( E(D) = 18{,}0 \), \( \sigma = 0{,}6 \).
Ist ein Vorgang mit 17,0 Sekunden noch als normal anzusehen?
Antwort: 17 Sekunden liegen deutlich unter dem Mittelwert, aber noch im erwartbaren Bereich.

Frage: Der tägliche Stromverbrauch einer Maschine in kWh ist die Zufallsgröße S mit \( E(S) = 36{,}0 \), \( \sigma = 4{,}0 \).
Was sagt der Erwartungswert über die Maschine aus?
Antwort: Die Maschine verbraucht im Durchschnitt 36 kWh pro Tag.

Frage: Der tägliche Stromverbrauch einer Maschine in kWh ist die Zufallsgröße S mit \( E(S) = 36{,}0 \), \( \sigma = 4{,}0 \).
Warum ist die Standardabweichung für die Energiekostenplanung relevant?
Antwort: Die Streuung hilft bei der Kalkulation der maximal zu erwartenden Kosten.

Frage: Der tägliche Stromverbrauch einer Maschine in kWh ist die Zufallsgröße S mit \( E(S) = 36{,}0 \), \( \sigma = 4{,}0 \).
Ist ein Verbrauch von 42,5 kWh ein Ausreißer?
Antwort: 42,5 kWh liegt über 1,5 Standardabweichungen über dem Mittel – ein höherer, aber nicht extremer Wert.

Frage: Zwei Maschinen stellen täglich eine Zufallsgröße \( X \) dar: die Anzahl fehlerfreier Produkte pro Tag. Für \( A \): \( E(X_A) = 20 \), \( \sigma(X_A) = 2 \), für \( B \): \( E(X_B) = 20 \), \( \sigma(X_B) = 6 \).
Welche Maschine produziert gleichmäßiger?
Antwort: Maschine \( A \) produziert gleichmäßiger.

Frage: Zwei Maschinen stellen täglich eine Zufallsgröße \( X \) dar: die Anzahl fehlerfreier Produkte pro Tag. Für \( A \): \( E(X_A) = 20 \), \( \sigma(X_A) = 2 \), für \( B \): \( E(X_B) = 20 \), \( \sigma(X_B) = 6 \).
Welche Maschine ist im Produktionsprozess vorzuziehen?
Antwort: Wegen geringerer Streuung ist \( A \) vorzuziehen, wenn Konstanz wichtig ist.

Frage: Zwei Investitionen führen zu einer Zufallsgröße \( G \): Gewinn in Euro. Für \( X \): \( E(G_X) = 1000 \), \( \sigma(G_X) = 50 \); für \( Y \): \( E(G_Y) = 1000 \), \( \sigma(G_Y) = 300 \).
Welche Investition ist bei Risikoscheu sinnvoller?
Antwort: Investition \( X \) ist risikoärmer.

Frage: Zwei Investitionen führen zu einer Zufallsgröße \( G \): Gewinn in Euro. Für \( X \): \( E(G_X) = 1000 \), \( \sigma(G_X) = 50 \); für \( Y \): \( E(G_Y) = 1000 \), \( \sigma(G_Y) = 300 \).
Wann wäre \( Y \) trotzdem vorzuziehen?
Antwort: Wenn Chancen auf hohe Gewinne gesucht sind, kann \( Y \) sinnvoll sein.

Frage: Zufallsgröße \( N \): Anzahl bestandener Prüfungen pro Schüler in zwei Gruppen. Gruppe \( A \): \( E(N_A) = 3{,}4 \), \( \sigma(N_A) = 0{,}5 \); Gruppe \( B \): \( E(N_B) = 3{,}5 \), \( \sigma(N_B) = 0{,}6 \).
Welche Gruppe ist zu bevorzugen?
Antwort: Keine klare Bevorzugung möglich.

Frage: Zufallsgröße \( N \): Anzahl bestandener Prüfungen pro Schüler in zwei Gruppen. Gruppe \( A \): \( E(N_A) = 3{,}4 \), \( \sigma(N_A) = 0{,}5 \); Gruppe \( B \): \( E(N_B) = 3{,}5 \), \( \sigma(N_B) = 0{,}6 \).
Wie sind die Unterschiede zu interpretieren?
Antwort: Beide Gruppen zeigen ähnliche Leistung und Streuung.

Frage: Zufallsgröße \( E \): Stromertrag pro Tag in kWh. Anlage \( A \): \( E(E_A) = 400 \), \( \sigma(E_A) = 20 \); Anlage \( B \): \( E(E_B) = 420 \), \( \sigma(E_B) = 100 \).
Welche Anlage liefert im Mittel mehr Strom?
Antwort: Anlage \( B \) liefert im Mittel mehr Strom.

Frage: Zufallsgröße \( E \): Stromertrag pro Tag in kWh. Anlage \( A \): \( E(E_A) = 400 \), \( \sigma(E_A) = 20 \); Anlage \( B \): \( E(E_B) = 420 \), \( \sigma(E_B) = 100 \).
Ist die größere Streuung relevant?
Antwort: Die höhere Streuung kann Planbarkeit erschweren.

Frage: Zufallsgröße \( E \): Stromertrag pro Tag in kWh. Anlage \( A \): \( E(E_A) = 400 \), \( \sigma(E_A) = 20 \); Anlage \( B \): \( E(E_B) = 420 \), \( \sigma(E_B) = 100 \).
Welche Anlage ist insgesamt vorzuziehen?
Antwort: Bei Bedarf an Konstanz ist \( A \) besser geeignet.

Frage: Zufallsgröße \( M \): Anzahl gelieferter Teile pro Lieferung. Lieferant \( A \): \( E(M_A) = 80 \), \( \sigma(M_A) = 5 \); Lieferant \( B \): \( E(M_B) = 120 \), \( \sigma(M_B) = 20 \).
Welcher Lieferant liefert mehr?
Antwort: Lieferant \( B \) liefert mehr.

Frage: Zufallsgröße \( M \): Anzahl gelieferter Teile pro Lieferung. Lieferant \( A \): \( E(M_A) = 80 \), \( \sigma(M_A) = 5 \); Lieferant \( B \): \( E(M_B) = 120 \), \( \sigma(M_B) = 20 \).
Spielt die größere Schwankung noch eine Rolle?
Antwort: Die Standardabweichung ist angesichts des Unterschieds im Mittelwert vernachlässigbar.

Frage: Zufallsgröße \( G \): Gewinn bei einem Spiel in Euro. Option \( A \): \( E(G_A) = 5 \), \( \sigma(G_A) = 2 \); Option \( B \): \( E(G_B) = 5 \), \( \sigma(G_B) = 6 \).
Welche Option bietet geringere Schwankung?
Antwort: Option \( A \) ist gleichmäßiger.

Frage: Zufallsgröße \( G \): Gewinn bei einem Spiel in Euro. Option \( A \): \( E(G_A) = 5 \), \( \sigma(G_A) = 2 \); Option \( B \): \( E(G_B) = 5 \), \( \sigma(G_B) = 6 \).
Welche ist bei Risikofreude attraktiver?
Antwort: Option \( B \) ist bei Risikofreude attraktiver.

Frage: Zufallsgröße \( U \): Gewinn eines Produkts in Euro. Produkt \( A \): \( E(U_A) = 15000 \), \( \sigma(U_A) = 1000 \); Produkt \( B \): \( E(U_B) = 17000 \), \( \sigma(U_B) = 2500 \).
Welches Produkt bringt im Schnitt mehr Gewinn?
Antwort: Produkt \( B \) hat den höheren Erwartungswert.

Frage: Zufallsgröße \( U \): Gewinn eines Produkts in Euro. Produkt \( A \): \( E(U_A) = 15000 \), \( \sigma(U_A) = 1000 \); Produkt \( B \): \( E(U_B) = 17000 \), \( \sigma(U_B) = 2500 \).
Ist die Schwankung entscheidend?
Antwort: Die höhere Schwankung ist angesichts des höheren Gewinns vertretbar.

Frage: Zufallsgröße \( A \): Anzahl bearbeiteter Aufträge pro Tag. Azubi \( A \): \( E(A_1) = 20 \), \( \sigma(A_1) = 1{,}5 \); Azubi \( B \): \( E(A_2) = 20 \), \( \sigma(A_2) = 1{,}6 \).
Gibt es einen bedeutsamen Unterschied?
Antwort: Kein bedeutsamer Unterschied.

Frage: Zufallsgröße \( A \): Anzahl bearbeiteter Aufträge pro Tag. Azubi \( A \): \( E(A_1) = 20 \), \( \sigma(A_1) = 1{,}5 \); Azubi \( B \): \( E(A_2) = 20 \), \( \sigma(A_2) = 1{,}6 \).
Wie lässt sich das interpretieren?
Antwort: Beide Azubis arbeiten sehr ähnlich.

Frage: Zufallsgröße \( T \): Fahrzeit in Minuten. Verbindung \( A \): \( E(T_A) = 35 \), \( \sigma(T_A) = 4 \); Verbindung \( B \): \( E(T_B) = 36 \), \( \sigma(T_B) = 1 \).
Welche Verbindung ist durchschnittlich schneller?
Antwort: Verbindung \( A \) ist etwas schneller.

Frage: Zufallsgröße \( T \): Fahrzeit in Minuten. Verbindung \( A \): \( E(T_A) = 35 \), \( \sigma(T_A) = 4 \); Verbindung \( B \): \( E(T_B) = 36 \), \( \sigma(T_B) = 1 \).
Welche ist zuverlässiger?
Antwort: Verbindung \( B \) ist zuverlässiger.

Frage: Zufallsgröße \( T \): Fahrzeit in Minuten. Verbindung \( A \): \( E(T_A) = 35 \), \( \sigma(T_A) = 4 \); Verbindung \( B \): \( E(T_B) = 36 \), \( \sigma(T_B) = 1 \).
Welche ist vorzuziehen, wenn Pünktlichkeit wichtig ist?
Antwort: Bei Pünktlichkeit ist \( B \) vorzuziehen.

Frage: Zufallsgröße \( N \): Schulnote bei Prüfungen. Schüler \( A \): \( E(N_A) = 1{,}7 \), \( \sigma(N_A) = 0{,}5 \); Schüler \( B \): \( E(N_B) = 2{,}5 \), \( \sigma(N_B) = 0{,}2 \).
Wer ist im Mittel besser?
Antwort: Schüler \( A \) ist im Mittel besser.

Frage: Zufallsgröße \( N \): Schulnote bei Prüfungen. Schüler \( A \): \( E(N_A) = 1{,}7 \), \( \sigma(N_A) = 0{,}5 \); Schüler \( B \): \( E(N_B) = 2{,}5 \), \( \sigma(N_B) = 0{,}2 \).
Welche Aussage lässt sich zur Streuung treffen?
Antwort: Schüler \( B \) ist konstanter.

Frage: Zufallsgröße \( N \): Schulnote bei Prüfungen. Schüler \( A \): \( E(N_A) = 1{,}7 \), \( \sigma(N_A) = 0{,}5 \); Schüler \( B \): \( E(N_B) = 2{,}5 \), \( \sigma(N_B) = 0{,}2 \).
Welche Gesamteinschätzung ist sinnvoll?
Antwort: Der bessere Erwartungswert spricht für \( A \), trotz höherer Streuung.