Title: MatheChecks / stochastik / zufallsgroessen / Check04

Head: MatheChecks
Zufallsgrößen 4i
Frage: Für eine statistische Untersuchung in einem großen Elektronikfachmarkt wurden Aufzeichnungen über die Verkäufe von Laptops mit Windows- bzw. macOS-Betriebssystem geführt. Zusätzlich wurden drei Gerätekategorien erfasst: Einsteigergeräte (E), Mittelklassegeräte (M) und Premiumgeräte (P). Der Sachverhalt ist in folgendem Baumdiagramm dargestellt: Der Gewinn bei Windows-Geräten beträgt unabhängig von der Gerätekategorie 180 € pro Stück. Bei macOS-Geräten beläuft sich der Gewinn auf 130 € für Einsteigergeräte, 210 € für Mittelklassegeräte und 290 € für Premiumgeräte.
1. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße, die den Gewinn pro Laptop angibt?
2. Zeichnen Sie das Histogramm der Zufallsgröße
3. Wie hoch ist der erwartete Gewinn pro Laptop? Und wie hoch ist der Gesamtgewinn bei 80.000 verkauften Laptops?
Antwort: 1. Zunächst berechnen wir $P(\{W\})=0{,}04+0{,}35+0{,}06=0{,}45$.
Wir erhalten:
\( x_i \) | \( 180 \) | \( 130 \) | \( 210 \) | \( 290 \)
\( P(X = x_i) \) | \( 0{,}45 \) | \( 0{,}16 \) | \( 0{,}35 \) | \( 0{,}04 \)
3. Wir berechnen den Erwartungswert: \[\begin{align*} E(X) &= 180 \cdot 0{,}45 + 130 \cdot 0{,}16 + 210 \cdot 0{,}35 + 290 \cdot 0{,}04 \\ &= 81 + 20{,}8 + 73{,}5 + 11{,}6 \\ &= 186{,}9. \end{align*}\] Der Gesamtgewinn beträgt dann \(186{,}9 \cdot 80.000 = 14.952.000\) €.

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Zufallsgrößen 4i
Frage: Es wurden 2.000 Schülerinnen und Schülern befragt, welche Versionen von Lern-Apps sie nutzen: Starter-Versionen (S), Pro-Versionen (P) oder keine Lern-Apps (k). Außerdem wurde untersucht, ob sie die Apps zur Unterhaltung (U) oder zur Vorbereitung auf Prüfungen (V) verwenden. Der Sachverhalt ist in folgendem Baumdiagramm dargestellt:
Jugendliche, die mit Pro-Versionen von Lern-Apps gezielt für Prüfungen gelernt haben, erreichen in der Abiturprüfung im Durchschnitt 11,3 Punkte. Diejenigen, die mit Starter-Versionen gezielt gelernt haben, erzielen im Mittel 10,4 Punkte, jene, die Lern-Apps zur Unterhaltung nutzen, 9,1 Punkte. Jugendliche ohne Nutzung von Lern-Apps erreichen durchschnittlich 7,3 Punkte.
1. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße, die die Punkte in der Abiturprüfung angibt?
2. Zeichnen Sie das Histogramm der Zufallsgröße.
3. Wie viele Punkte erreichen Jugendliche in der Abiturprüfung im langfristigen Mittel?
Antwort: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Lern-Apps nur zur Unterhaltung nutzt beträgt \(0{,}357+0{,}048=0{,}405\). Wir erhalten:
Wir erhalten:
\( x_i \) | \( 11{,}3 \) | \( 10{,}4 \) | \( 9{,}1 \) | \( 7{,}3 \)
\( P(X = x_i) \) | \( 0{,}112 \) | \( 0{,}243 \) | \( 0{,}405 \) | \( 0{,}24 \)
3. Wir berechnen den Erwarrtungswert: \[\begin{align*} E(X) &= 11{,}3 \cdot 0{,}112 + 10{,}4 \cdot 0{,}243 + 9{,}1 \cdot 0{,}405 + 7{,}3 \cdot 0{,}24 \\ &= 1{,}2656 + 2{,}5272 + 3{,}6855 + 1{,}752 \\ &= 9{,}2303. \end{align*}\]