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Was ist eine Matrix?
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Wir schreiben eine Matrix in der Regel mit einem Großbuchstaben und geben ihre Dimension als $m \times n$ an:
\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]Der Eintrag $a_{ij}$ steht in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte.
Beispiele
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]$A$ ist eine $2 \times 2$-Matrix, $B$ eine $2 \times 3$-Matrix und $C$ eine $3 \times 3$-Matrix. Die Matrix $C$ wird als Einheitsmatrix $E_3$ bezeichnet – auf der Hauptdiagonale stehen Einsen, überall sonst Nullen.
Besondere Matrizen
-
Eine Matrix mit nur einer Spalte heißt Spaltenvektor:
\[\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\] -
Eine Matrix mit nur einer Zeile heißt Zeilenvektor:
\[\vec{w}^T = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}\] -
Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen und Spalten ($m = n$).
-
Die Nullmatrix $O$ besteht nur aus Nullen und ist das neutrale Element der Addition.
-
Die Einheitsmatrix $E_n$ ist das neutrale Element der Multiplikation für quadratische Matrizen.
Addition und Subtraktion
Zwei Matrizen gleicher Dimension können addiert oder subtrahiert werden, indem die entsprechenden Einträge elementweise addiert bzw. subtrahiert werden.
Definition
Für $A = (a_{ij})$ und $B = (b_{ij})$, beide der Dimension $m \times n$:
\[A + B = (a_{ij} + b_{ij}), \qquad A - B = (a_{ij} - b_{ij})\]Beispiel
\[\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}\]Matrizen unterschiedlicher Dimension können nicht addiert oder subtrahiert werden.
Rechenregeln
Für Matrizen $A$, $B$, $C$ gleicher Dimension gilt:
- Kommutativgesetz: $A + B = B + A$
- Assoziativgesetz: $(A + B) + C = A + (B + C)$
- Neutrales Element: $A + O = A$
Skalarmultiplikation
Ein Skalar (eine reelle Zahl) wird mit einer Matrix multipliziert, indem jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.
Definition
Für $\lambda \in \mathbb{R}$ und $A = (a_{ij})$:
\[\lambda \cdot A = (\lambda \cdot a_{ij})\]Beispiel
\[3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}\]Kombination mit Addition
Diese Operationen lassen sich beliebig kombinieren. Dabei gelten die üblichen Rechenregeln, insbesondere das Distributivgesetz:
\[\lambda \cdot (A + B) = \lambda \cdot A + \lambda \cdot B\] \[(\lambda + \mu) \cdot A = \lambda \cdot A + \mu \cdot A\]Beispiel
Gegeben:
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\]Berechne $2 \cdot (A - 3B)$:
\[\begin{align*} 2 \cdot (A - 3B) &= 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right) \\ &= 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 12 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \right) \\ &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 8 & -20 \\ -6 & -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]Matrizenmultiplikation
Die Multiplikation zweier Matrizen ist die zentrale Operation der Matrizenrechnung. Sie ist keine elementweise Multiplikation, sondern folgt dem Zeile-mal-Spalte-Prinzip.
Voraussetzung
Zwei Matrizen $A$ ($m \times n$) und $B$ ($n \times p$) können genau dann multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl von $A$ mit der Zeilenanzahl von $B$ übereinstimmt. Das Ergebnis $C = A \cdot B$ hat die Dimension $m \times p$.
\[\underbrace{A}_{m \times n} \cdot \underbrace{B}_{n \times p} = \underbrace{C}_{m \times p}\]Berechnung
Der Eintrag $c_{ij}$ des Produkts ergibt sich als Skalarprodukt der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $j$-ten Spalte von $B$:
\[c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \cdots + a_{in} \cdot b_{nj}\]Beispiel
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\]Die Einträge des Ergebnisses berechnen sich wie folgt:
\[\begin{align*} c_{11} &= 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19 \\ c_{12} &= 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22 \\ c_{21} &= 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43 \\ c_{22} &= 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50 \end{align*}\]Also:
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\]Wichtig: Keine Kommutativität
Im Allgemeinen gilt $A \cdot B \neq B \cdot A$. Die Reihenfolge der Faktoren ist entscheidend – selbst wenn beide Produkte definiert sind, können die Ergebnisse unterschiedlich sein oder eines der Produkte kann undefiniert sein.
Weitere Rechenregeln
- Assoziativgesetz: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
- Distributivgesetz: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
- Neutrales Element: $A \cdot E_n = E_n \cdot A = A$ (für passende Einheitsmatrix)
- Es gibt keine Division von Matrizen. Stattdessen verwenden wir die Multiplikation mit der inversen Matrix.
Die inverse Matrix
Motivation
In den reellen Zahlen lösen wir die Gleichung $a \cdot x = b$ durch Division: $x = \frac{b}{a} = a^{-1} \cdot b$, wobei $a^{-1}$ die zu $a$ inverse Zahl ist. Da es für Matrizen keine Division gibt, benötigen wir ein analoges Konzept: die inverse Matrix.
Definition
Sei $A$ eine quadratische $n \times n$-Matrix. Eine Matrix $A^{-1}$ heißt inverse Matrix von $A$, wenn gilt:
\[A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E_n\]Eine Matrix, die eine Inverse besitzt, heißt invertierbar (oder regulär). Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar – eine Matrix ohne Inverse heißt singulär.
Existenz der Inversen
Ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht, lässt sich beim Anwenden des Gauß-Jordan-Algorithmus erkennen: Lässt sich die linke Seite nicht in die Einheitsmatrix überführen (z. B. weil eine Nullzeile entsteht), so existiert keine Inverse. Ein systematisches Kriterium liefert die Determinante, die weiter unten behandelt wird.
Berechnung mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus
Die inverse Matrix wird mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet. Dabei wird die Matrix $A$ neben die Einheitsmatrix $E$ geschrieben und durch elementare Zeilenumformungen die linke Seite in die Einheitsmatrix überführt. Auf der rechten Seite steht dann $A^{-1}$:
\[(A \mid E_n) \sim \cdots \sim (E_n \mid A^{-1})\]Lineare Matrizengleichungen
Mit Hilfe der inversen Matrix können wir Gleichungen lösen, in denen Matrizen als Unbekannte auftreten.
Prinzip
Eine Matrizengleichung wird – ähnlich wie eine gewöhnliche Gleichung – nach der unbekannten Matrix $X$ aufgelöst. Dabei ist die Reihenfolge der Multiplikation entscheidend, da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.
Grundtypen
| Gleichung | Lösung |
|---|---|
| $A \cdot X = B$ | $X = A^{-1} \cdot B$ |
| $X \cdot A = B$ | $X = B \cdot A^{-1}$ |
In beiden Fällen muss $A$ invertierbar sein.
Beispiel
Löse die Gleichung $A \cdot X + B = C$ mit
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}\]Schritt 1: Umstellen nach $A \cdot X$:
\[A \cdot X = C - B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 9 & 11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 10 & 9 \end{pmatrix}\]Schritt 2: Von links mit $A^{-1}$ multiplizieren. Es ist $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ -5 & 2 \end{pmatrix}$ (vgl. oben).
\[X = A^{-1} \cdot (C - B) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 10 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\]Achtung bei der Reihenfolge
Steht $X$ rechts vom Faktor, muss $A^{-1}$ von rechts multipliziert werden:
\[X \cdot A + B = C \implies X = (C - B) \cdot A^{-1}\]Die Transponierte
Definition
Die Transponierte $A^T$ einer $m \times n$-Matrix $A$ entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Der Eintrag $a_{ij}$ von $A$ wird zum Eintrag $a_{ji}$ von $A^T$. Die Dimension von $A^T$ ist $n \times m$.
Beispiel
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\]Die $2 \times 3$-Matrix wird zur $3 \times 2$-Matrix.
Rechenregeln
- $(A^T)^T = A$
- $(A + B)^T = A^T + B^T$
- $(\lambda \cdot A)^T = \lambda \cdot A^T$
- $(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$ (Reihenfolge dreht sich um!)
Symmetrische Matrizen
Eine quadratische Matrix $A$ heißt symmetrisch, wenn $A^T = A$ gilt, d. h. die Matrix ist spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonale:
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix}\]Die Determinante
Motivation
Die Determinante ist eine Kennzahl einer quadratischen Matrix, die unter anderem Auskunft darüber gibt, ob die Matrix invertierbar ist. Sie spielt in vielen Bereichen der linearen Algebra eine zentrale Rolle.
Determinante einer 2x2-Matrix
Für eine $2 \times 2$-Matrix ist die Determinante definiert als:
\[\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c\]Man bildet also das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale.
Beispiel
\[\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 1 = 13\]Determinante einer 3x3-Matrix: Regel von Sarrus
Für eine $3 \times 3$-Matrix verwenden wir die Regel von Sarrus. Dabei werden die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix geschrieben und dann die Produkte entlang der Diagonalen gebildet:
\[\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}\]Die drei Produkte von links oben nach rechts unten werden addiert, die drei Produkte von rechts oben nach links unten werden subtrahiert.
Beispiel
\[\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}\] \[\begin{align*} &= 1 \cdot 5 \cdot 0 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 1 \cdot 6 \cdot 8 - 2 \cdot 4 \cdot 0 \\ &= 0 + 84 + 96 - 105 - 48 - 0 \\ &= 27 \end{align*}\]Determinante einer 4x4-Matrix: Laplace-Entwicklung
Für $4 \times 4$-Matrizen (und größere) verwenden wir die Laplace-Entwicklung. Dabei wird die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickelt und auf kleinere Determinanten zurückgeführt. Entwicklung nach der ersten Zeile:
\[\det(A) = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{1+j} \cdot a_{1j} \cdot \det(A_{1j})\]Dabei ist $A_{1j}$ die $3 \times 3$-Matrix, die durch Streichen der 1. Zeile und $j$-ten Spalte entsteht. Es empfiehlt sich, nach einer Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen zu entwickeln.
Zusammenhang mit der Invertierbarkeit
Die Determinante entscheidet, ob eine Matrix invertierbar ist:
\[\det(A) \neq 0 \iff A \text{ ist invertierbar}\] \[\det(A) = 0 \iff A \text{ ist singulär (nicht invertierbar)}\]Ganzzahlige Invertierbarkeit
Eine Matrix $A$ mit ganzzahligen Einträgen ist genau dann über $\mathbb{Z}$ invertierbar (d. h. auch $A^{-1}$ hat ausschließlich ganzzahlige Einträge), wenn $\det(A) = \pm 1$.
Weitere Eigenschaften
- $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$
- $\det(A^T) = \det(A)$
- $\det(\lambda \cdot A) = \lambda^n \cdot \det(A)$ für eine $n \times n$-Matrix
- $\det(E_n) = 1$
- $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$, falls $A$ invertierbar