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Einführung
Lineare Funktionen beschreiben Zusammenhänge mit konstanter Änderungsrate. Ihr Graph ist eine Gerade. In vielen Alltagssituationen — vom Handytarif über Mietkosten bis zur Temperaturentwicklung — treten solche Zusammenhänge auf.
In diesem Lernbereich geht es um die drei zentralen Darstellungsformen linearer Funktionen, um typische Rechenverfahren und um die Anwendung auf Sachsituationen.
Darstellungsformen
Eine lineare Funktion lässt sich auf drei verschiedene Weisen darstellen, die alle gleichwertig sind und ineinander umgewandelt werden können:
Funktionsgleichung
Die allgemeine Form lautet
\[f(x)=mx+b\]mit zwei Parametern:
- $m$ heißt Steigung. Sie gibt an, um wie viele Einheiten sich der $y$-Wert ändert, wenn der $x$-Wert um 1 zunimmt.
- $b$ heißt $y$-Achsenabschnitt. Er gibt an, wo der Graph die $y$-Achse schneidet, also den Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Einige Beispiele:
| Gleichung | Steigung $m$ | $y$-Achsenabschnitt $b$ |
|---|---|---|
| $f(x)=2x+3$ | $2$ | $3$ |
| $g(x)=-0{,}5x+4$ | $-0{,}5$ | $4$ |
| $h(x)=3x$ | $3$ | $0$ |
| $k(x)=-2$ | $0$ | $-2$ |
Graph
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Steigung $m$ bestimmt die Neigung der Geraden, der $y$-Achsenabschnitt $b$ bestimmt die Lage.
- $m>0$: Der Graph steigt von links nach rechts.
- $m<0$: Der Graph fällt von links nach rechts.
- $m=0$: Der Graph verläuft horizontal.
Die Steigung lässt sich am Graphen mit dem Steigungsdreieck ablesen: Man geht vom Graphen aus 1 Einheit nach rechts und liest ab, um wie viele Einheiten sich der $y$-Wert ändert. Diese Änderung ist $m$.
Wertetabelle
Für ausgewählte $x$-Werte werden die zugehörigen Funktionswerte $f(x)$ berechnet und in einer Tabelle zusammengefasst. Die Wertetabelle zeigt das Steigungsverhalten konkret: In jeder Spalte wächst der $y$-Wert um den gleichen Betrag $m$, wenn der $x$-Wert um 1 zunimmt.
Darstellungswechsel
Diese drei Darstellungsformen lassen sich ineinander überführen:
| Von → Nach | Vorgehen |
|---|---|
| Gleichung → Wertetabelle | $x$-Werte einsetzen, $f(x)$ berechnen |
| Gleichung → Graph | Wertetabelle erstellen, Punkte eintragen, Gerade zeichnen |
| Graph → Gleichung | $m$ per Steigungsdreieck ablesen, $b$ an der $y$-Achse ablesen |
| Wertetabelle → Gleichung | $m$ aus gleichmäßiger Differenz berechnen, $b$ bestimmen |
| Zwei Punkte → Gleichung | $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, dann $b=y_1-m\cdot x_1$ |
Im interaktiven Diagramm können Sie beobachten, wie Änderungen an $m$ und $b$ gleichzeitig die Gleichung, den Graphen und die Wertetabelle verändern.
Rechnen mit linearen Funktionen
Punktprobe
Um zu prüfen, ob ein Punkt $P(x_0 \mid y_0)$ auf dem Graphen von $f$ liegt, berechnet man den Funktionswert $f(x_0)$ und vergleicht:
- $f(x_0) = y_0$: $P$ liegt auf dem Graphen.
- $y_0 > f(x_0)$: $P$ liegt oberhalb des Graphen.
- $y_0 < f(x_0)$: $P$ liegt unterhalb des Graphen.
Funktionswerte und Umkehrwerte
Zwei grundlegende Berechnungen treten immer wieder auf:
- Funktionswert: Gegeben ist ein $x$-Wert, gesucht ist $f(x)$. Lösung: Einsetzen in $f(x)=mx+b$.
- Umkehrwert: Gegeben ist ein $y$-Wert, gesucht ist $x$. Lösung: $f(x)=y_0$ setzen und nach $x$ auflösen:
Nullstellen und Vorzeichenbereiche
Die Nullstelle einer linearen Funktion ist die Stelle, an der der Graph die $x$-Achse schneidet, also $f(x)=0$:
\[mx+b=0 \quad\Rightarrow\quad x_0=-\frac{b}{m}\]Links und rechts der Nullstelle hat die Funktion ein festes Vorzeichen. Welches Vorzeichen wo vorliegt, hängt von der Steigung ab:
| Steigung | für $x < x_0$ | für $x > x_0$ |
|---|---|---|
| $m > 0$ | $f(x) < 0$ | $f(x) > 0$ |
| $m < 0$ | $f(x) > 0$ | $f(x) < 0$ |
Schnittpunkte und Vergleichsbereiche
Um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen $f(x)=m_1x+b_1$ und $g(x)=m_2x+b_2$ zu berechnen, setzt man die Funktionsterme gleich:
\[m_1x+b_1=m_2x+b_2 \quad\Rightarrow\quad x_S=\frac{b_2-b_1}{m_1-m_2}\]Den zugehörigen $y$-Wert erhält man durch Einsetzen: $y_S=f(x_S)$.
Voraussetzung: $m_1\neq m_2$ (sonst sind die Geraden parallel und haben keinen Schnittpunkt).
Vergleichsbereiche: Links und rechts des Schnittpunkts liegt der Graph der einen Funktion ober- bzw. unterhalb des Graphen der anderen. Um zu bestimmen, welcher Graph wo oben liegt, prüft man das Vorzeichen der Differenz $f(x)-g(x)=(m_1-m_2)x+(b_1-b_2)$ links und rechts von $x_S$.
Anwendungen
Lineare Funktionen eignen sich zur Modellierung von Sachsituationen, in denen eine Größe mit konstanter Rate wächst oder fällt. Der Grundaufbau ist stets:
- Modellierung: Aus der Sachsituation die Steigung $m$ (Änderungsrate) und den $y$-Achsenabschnitt $b$ (Startwert) ablesen und die Funktionsgleichung aufstellen.
- Auswertung: Funktionswerte, Umkehrwerte oder Nullstellen berechnen und im Sachzusammenhang interpretieren.
| Sachgröße | Steigung $m$ | $y$-Achsenabschnitt $b$ |
|---|---|---|
| Taxikosten | Preis pro km | Grundgebühr |
| Wasserstand | Änderung pro Stunde | Anfangsstand |
| Produktionskosten | variable Stückkosten | Fixkosten |
Modellvergleich und Break-Even
Wenn zwei Sachsituationen jeweils durch eine lineare Funktion modelliert werden, kann man sie vergleichen. Der Break-Even-Punkt (Schnittpunkt) gibt an, ab welchem Wert die eine Alternative günstiger wird als die andere.
Typisches Vorgehen:
- Beide Funktionsgleichungen aufstellen.
- Gleichsetzen und Schnittpunkt berechnen.
- Bereiche links und rechts des Schnittpunkts vergleichen und im Sachzusammenhang interpretieren.