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Darstellungsformen
Quadratische Funktionen können in drei verschiedenen Formen dargestellt werden. Jede Form hat ihre Stärken — je nach Situation wählt man die passende.
Normalform
Die allgemeine Form lautet
\[f(x) = ax^2 + bx + c\]mit drei Parametern:
- $a$ heißt Öffnungsfaktor. Er bestimmt, ob die Parabel nach oben ($a > 0$) oder nach unten ($a < 0$) geöffnet ist, und wie breit oder schmal sie verläuft.
- $b$ beeinflusst die Lage der Parabel — genauer die horizontale Position des Scheitels.
- $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt: der Funktionswert an der Stelle $x = 0$.
Scheitelpunktform
\[f(x) = a(x - d)^2 + e\]Der Scheitelpunkt $S(d \mid e)$ ist der tiefste Punkt (bei $a > 0$) bzw. höchste Punkt (bei $a < 0$) der Parabel. In dieser Form liest man ihn direkt ab.
Faktorisierte Form
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]Hier sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen — also die Stellen, an denen der Graph die $x$-Achse schneidet. Diese Form existiert nur, wenn die Funktion tatsächlich Nullstellen hat.
Graph und Wertetabelle
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Sie ist achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitel (der Symmetrieachse $x = d$).
Wie bei linearen Funktionen kann man auch hier Wertetabellen erstellen: $x$-Werte einsetzen und $f(x)$ berechnen. Bei quadratischen Funktionen erkennt man die Symmetrie daran, dass gleich weit links und rechts vom Scheitel die gleichen $y$-Werte auftreten.
Darstellungswechsel
| Von → Nach | Vorgehen |
|---|---|
| Gleichung → Wertetabelle | $x$-Werte einsetzen, $f(x)$ berechnen |
| Gleichung → Graph | Wertetabelle erstellen, Punkte eintragen, Parabel zeichnen |
| Graph → Scheitelpunktform | Scheitel $(d \mid e)$ ablesen, $a$ über weiteren Punkt bestimmen |
| Graph → Faktorisierte Form | Nullstellen $x_1, x_2$ ablesen, $a$ über weiteren Punkt bestimmen |
| SPF / FF → Normalform | Ausmultiplizieren |
| NF → SPF | Quadratische Ergänzung (→ Check 8) |
| NF → FF | Nullstellen berechnen (→ Checks 4–6) |
Im interaktiven Diagramm können Sie beobachten, wie Änderungen an $a$, $b$ und $c$ gleichzeitig die Gleichung, den Graphen und die Wertetabelle verändern.
Nullstellen
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die $x$-Werte, für die $f(x) = 0$ gilt — also die Schnittpunkte des Graphen mit der $x$-Achse. Je nach Darstellungsform gibt es unterschiedliche Wege, sie zu finden.
Nullstellen mit der $p$-$q$-Formel
Liegt die Funktion in Normalform vor, bringt man die Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ zunächst auf die Form $x^2 + px + q = 0$ (durch $a$ dividieren, falls $a \neq 1$). Dann gilt:
\[x_{1{,}2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\]Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante:
\[D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\]Sie entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:
| Diskriminante | Nullstellen |
|---|---|
| $D > 0$ | zwei verschiedene Nullstellen |
| $D = 0$ | genau eine Nullstelle (Scheitel auf der $x$-Achse) |
| $D < 0$ | keine Nullstelle (Parabel schneidet die $x$-Achse nicht) |
Nullstellen aus der faktorisierten Form
Liegt die Funktion als $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ vor, liest man die Nullstellen direkt ab: $x_1$ und $x_2$. Der Satz vom Nullprodukt liefert die Begründung: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Nullstellen aus der Scheitelpunktform
Aus $a(x - d)^2 + e = 0$ löst man schrittweise:
\[(x - d)^2 = -\frac{e}{a}\]Nullstellen existieren nur, wenn $-\frac{e}{a} \geq 0$. Falls ja:
\[x_{1{,}2} = d \pm \sqrt{-\frac{e}{a}}\]Exkurs: Herleitung der $p$-$q$-Formel
Die $p$-$q$-Formel lässt sich durch quadratische Ergänzung aus $x^2 + px + q = 0$ herleiten:
\[\begin{aligned} x^2 + px + q &= 0 \\ x^2 + px &= -q \\ x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 &= -q + \left(\frac{p}{2}\right)^2 \\ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\ x + \frac{p}{2} &= \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \\ x_{1{,}2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{aligned}\]Funktionswerte und Umkehrwerte
Bei quadratischen Funktionen unterscheidet man zwei Grundaufgaben:
- Funktionswert: Einen $x$-Wert einsetzen und $f(x_0)$ berechnen. Das ist reines Einsetzen in die Funktionsgleichung.
- Umkehrwert: Einen $y$-Wert vorgeben und alle $x$ bestimmen, für die $f(x) = y_0$ gilt.
Der Umkehrwert führt auf eine quadratische Gleichung: Aus $ax^2 + bx + c = y_0$ wird $ax^2 + bx + (c - y_0) = 0$. Diese löst man mit der $p$-$q$-Formel. Da eine Parabel achsensymmetrisch ist, gibt es in der Regel zwei Lösungen — außer der gesuchte $y$-Wert liegt genau am Scheitel (eine Lösung) oder unterhalb/oberhalb der Parabel (keine Lösung).
Schnittpunkte
Um die Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden oder einer zweiten Parabel zu berechnen, setzt man die Funktionsterme gleich und löst die entstehende Gleichung.
Parabel und Gerade
Gegeben: $f(x) = ax^2 + bx + c$ und $g(x) = mx + n$. Gleichsetzen:
\[ax^2 + bx + c = mx + n\]Umstellen liefert eine quadratische Gleichung, die man mit der $p$-$q$-Formel löst.
Zwei Parabeln
Gegeben: $f(x) = a_1 x^2 + b_1 x + c_1$ und $g(x) = a_2 x^2 + b_2 x + c_2$. Gleichsetzen und umstellen:
\[(a_1 - a_2)x^2 + (b_1 - b_2)x + (c_1 - c_2) = 0\]Falls $a_1 = a_2$, reduziert sich das auf eine lineare Gleichung.
Die $y$-Koordinaten der Schnittpunkte erhält man jeweils durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen.
Umwandlung zwischen Darstellungsformen
Die drei Darstellungsformen — Normalform, Scheitelpunktform und faktorisierte Form — lassen sich ineinander umwandeln. Zwei der Umwandlungen erfordern Rechentechniken aus den vorherigen Abschnitten.
Ausmultiplizieren (SPF → NF, FF → NF)
In beiden Fällen multipliziert man die Klammern aus und fasst zusammen. Das führt stets zur Normalform $ax^2 + bx + c$.
Normalform → Faktorisierte Form
Man berechnet die Nullstellen (z. B. mit der $p$-$q$-Formel) und setzt sie in die faktorisierte Form ein:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]Das geht nur, wenn Nullstellen existieren ($D \geq 0$).
Normalform → Scheitelpunktform (quadratische Ergänzung)
Aus $f(x) = ax^2 + bx + c$ klammert man zunächst $a$ aus den ersten beiden Termen:
\[f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c\]Dann ergänzt man innerhalb der Klammer zu einem vollständigen Quadrat:
\[f(x) = a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}\]Der Scheitel liegt bei $S\left(-\frac{b}{2a} \mid c - \frac{b^2}{4a}\right)$.
Gleichung aufstellen
In vielen Aufgaben sind Informationen über eine quadratische Funktion gegeben (Punkte, Nullstellen, Scheitel), und die Gleichung soll bestimmt werden. Die Kunst besteht darin, die passende Darstellungsform zu wählen:
| Gegebene Information | Günstige Form | Vorgehen |
|---|---|---|
| Scheitel + weiterer Punkt | Scheitelpunktform | $S$ einsetzen → $a$ über den Punkt bestimmen |
| Zwei Nullstellen + weiterer Punkt | Faktorisierte Form | $x_1, x_2$ einsetzen → $a$ über den Punkt bestimmen |
| Drei Punkte | Normalform | Drei Gleichungen mit drei Unbekannten ($a$, $b$, $c$) aufstellen und lösen |
Bei drei Punkten entsteht ein lineares Gleichungssystem. Es wird mit Einsetzen oder dem Additionsverfahren gelöst — die Werte sind dabei so gewählt, dass sie ganzzahlig oder einfach bleiben.
Anwendungen
Quadratische Funktionen tauchen in vielen Sachsituationen auf — manchmal, weil ein Objekt tatsächlich eine Parabelform hat, manchmal, weil ein Optimierungsproblem zu einer quadratischen Gleichung führt.
Geometrische Szenarien
In der Geometrie und Physik beschreiben Parabeln die Form von Brückenbögen, Wurfbahnen, Parabolspiegeln oder Wasserstrahlkurven. Typische Aufgaben:
- Koordinatensystem sinnvoll festlegen (z. B. Scheitel im Ursprung oder Nullstellen auf der $x$-Achse)
- Aus dem Sachkontext Punkte oder Nullstellen ablesen
- Funktionsgleichung aufstellen und Fragen beantworten (Höhe, Weite, Durchfahrtshöhe)
Optimierung
Wenn eine Zielgröße durch eine quadratische Funktion beschrieben wird (z. B. Gewinn, Fläche, Höhe), liefert der Scheitel direkt das Maximum oder Minimum.
Typisches Vorgehen:
- Zielfunktion aufstellen (quadratisch)
- Scheitelpunkt bestimmen (quadratische Ergänzung oder Formel $d = -\frac{b}{2a}$)
- Ergebnis im Sachkontext interpretieren