Zinseszinsrechnung: Kapital wächst mit Zinsen auf Zinsen

Einführung

Lena bekommt von ihrem Opa 3 000 € geschenkt und legt das Geld fest zu 3 % pro Jahr an. Am Ende des ersten Jahres schreibt die Bank Zinsen gut: 3 % von 3 000 € sind 90 €, das Guthaben beträgt nun 3 090 €. Im zweiten Jahr werden nicht mehr nur die 3 000 €, sondern die vollen 3 090 € verzinst – die Zinsen des ersten Jahres bringen selbst Zinsen. Man spricht von Zinseszins.

In diesem Lernbereich wird ausschließlich jährlich verzinst. Bezeichnungen:

• $K_0$: Anfangskapital (Kapital zum Zeitpunkt $0$), hier $3\,000$ €
• $K_n$: Kapital nach $n$ Jahren
• $p$: Zinssatz in Prozent pro Jahr, hier $3\,\%$
• $q = 1 + \frac{p}{100}$: Zinsfaktor, hier $1{,}03$
• $n$: Laufzeit in Jahren

Mit dem Zinsfaktor lässt sich ein Jahr Verzinsung als eine einzige Multiplikation schreiben: $3\,000 \cdot 1{,}03 = 3\,090$. Das zweite Jahr ist wieder eine Multiplikation mit $1{,}03$, also $3\,000 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03 = 3\,000 \cdot 1{,}03^2 \approx 3\,182{,}70$.

Die Zinseszinsformel

Nach $n$ Jahren wurde $n$-mal mit $q$ multipliziert:

Lenas Geld soll in sechs Jahren ein Auslandsjahr mitfinanzieren. Nach sechs Jahren sind es

Die Formel enthält vier Größen. Je nachdem, welche gesucht ist, wird sie nicht allgemein umgestellt; stattdessen werden alle bekannten Werte eingesetzt und die verbleibende Unbekannte wird durch Umformen bestimmt:

• $K_n$ gesucht: einsetzen und ausrechnen (wie eben).
• $K_0$ gesucht: durch $q^n$ teilen. Wollte Lena in sechs Jahren genau 4 000 € haben, müsste sie heute $K_0 = \frac{4\,000}{1{,}03^6} \approx 3\,349{,}94$ € anlegen.
• $n$ gesucht: nach $q^n$ auflösen, logarithmieren. Wann erreichen die 3 000 € die Marke von 4 000 €? Aus $1{,}03^n = \frac{4\,000}{3\,000}$ folgt $n = \frac{\ln(4\,000/3\,000)}{\ln 1{,}03} \approx 9{,}73$ – erst im zehnten Jahr.
• $p$ gesucht: nach $q^n$ auflösen, $n$-te Wurzel ziehen, $p = (q - 1) \cdot 100$. Welcher Zinssatz brächte die 3 000 € in sechs Jahren auf 4 000 €? $q = \sqrt[6]{4\,000/3\,000} \approx 1{,}0491$, also etwa $4{,}91\,\%$.

Zwischenwerte wie $q^n$ werden mit mindestens vier Nachkommastellen weitergerechnet, sonst wird das Ergebnis bei großen Beträgen ungenau.

Sachaufgaben zur Zinseszinsrechnung

In Textaufgaben steht die gesuchte Größe nicht dabei. Deshalb ist zunächst zu klären, welche Werte gegeben sind und welche Größe gesucht ist – erst danach wird die Formel eingesetzt. Signalwörter helfen: „über welchen Betrag verfügen“ → $K_n$, „heute anlegen“ → $K_0$, „nach wie vielen Jahren“ → $n$, „mit welchem Zinssatz“ → $p$.

Zinssatzwechsel

Lenas Bank bietet eine Alternative an: in den ersten drei Jahren 2 %, danach 3,5 %. Dann wird das Kapital phasenweise verzinst – das Endkapital der ersten Phase ist das Anfangskapital der zweiten:

Allgemein werden die Zinsfaktoren aller Phasen mit ihren Laufzeiten verkettet:

Das Alternativangebot bringt weniger als die durchgehenden 3 % (3 582,16 €). Ist eine Größe unbekannt, werden alle bekannten Faktoren eingesetzt und anschließend nach dem offenen Faktor aufgelöst – Wurzel für ein $q$, Logarithmus für ein $n$.

Kapitalvergleich

Lenas Tante möchte ebenfalls etwas beisteuern und stellt drei Varianten zur Wahl: 3 000 € sofort, oder 1 500 € sofort und 1 900 € in vier Jahren, oder 3 600 € in sechs Jahren. Welches Angebot ist am meisten wert?

Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten lassen sich nur vergleichen, wenn sie auf denselben Zeitpunkt bezogen werden. Üblich ist der Barwert, also der Wert zum Zeitpunkt $0$:

Mit $q = 1{,}03$ ergeben sich die Barwerte

Für jedes Angebot werden also die Barwerte aller Zahlungen addiert. Die Empfängerin wählt das Angebot mit dem höchsten Barwert – hier das zweite, obwohl das dritte die größte Summe verspricht. Ein Zahler würde umgekehrt den niedrigsten Barwert wählen.