Zinseszinsrechnung: Kapital wächst mit Zinsen auf Zinsen

Einführung

Lena bekommt von ihrem Opa 3 000 € geschenkt und legt das Geld fest zu 3 % pro Jahr an. Am Ende des ersten Jahres schreibt die Bank Zinsen gut: 3 % von 3 000 € sind 90 €, das Guthaben beträgt nun 3 090 €. Im zweiten Jahr werden nicht mehr nur die 3 000 €, sondern die vollen 3 090 € verzinst – die Zinsen des ersten Jahres bringen selbst Zinsen. Man spricht von Zinseszins.

In diesem Lernbereich wird ausschließlich jährlich verzinst. Wir verwenden folgende Bezeichnungen:

• $K_0$: Anfangskapital (Kapital zum Zeitpunkt $0$), hier $3\,000$ €
• $K_n$: Kapital nach $n$ Jahren
• $p$: Zinssatz in Prozent pro Jahr, hier $3\,\%$
• $q = 1 + \frac{p}{100}$: Zinsfaktor, hier $1{,}03$
• $n$: Laufzeit in Jahren

Mit dem Zinsfaktor lässt sich ein Jahr Verzinsung als eine einzige Multiplikation schreiben: $3\,000 \cdot 1{,}03 = 3\,090$. Das zweite Jahr ist wieder eine Multiplikation mit $1{,}03$, also $3\,000 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03 = 3\,000 \cdot 1{,}03^2 \approx 3\,182{,}70$.

Die Zinseszinsformel

Im Zentrum dieses Lernbereichs steht die Zinseszinsformel:

Das folgende Widget zeigt die Herleitung dieser Formelam Zeitstrahl (voreingestellt ist Lenas Anlage): Über jedem Jahr steht das Kapital, darunter die Zinsen und der Zinsfaktor, mit dem von einem Jahr zum nächsten multipliziert wird. Der große Bogen fasst alle $n$ Jahresschritte zu einer einzigen Multiplikation mit $q^n$ zusammen.

Mit der Zinseszinsformel können wir beispielsweise berechnen, wie viel Lenas Geld in sechs Jahren wert sein wird:

Sachaufgaben zur Zinseszinsrechnung

In Textaufgaben steht die gesuchte Größe nicht dabei. Deshalb ist zunächst zu klären, welche Werte gegeben sind und welche Größe gesucht ist. Hierbei helfen Signalwörter: „Kapital nach $n$ Jahren“ → $K_n$, „heute anlegen“ → $K_0$, „nach wie vielen Jahren“ → $n$, „mit welchem Zinssatz“ → $p$.

Zinssatzwechsel

Lenas Bank bietet eine Alternative an: in den ersten zwei Jahren 2 %, danach vier Jahre lang 3,5 %. Die Laufzeit zerfällt damit in zwei Zinsphasen mit eigenem Zinsfaktor:

Die Zinseszinsformel wird einfach zweimal angewendet. Erst für die erste Phase:

Dieses Zwischenergebnis ist das Anfangskapital der zweiten Phase, die wieder mit der Zinseszinsformel berechnet wird:

Das Alternativangebot bringt also fast genau so viel wie die durchgehenden 3 % (3 582,16 €). Der Zwischenwert $K_{n_1}$ am Übergang ist der Schlüssel jeder Aufgabe zum Zinssatzwechsel: Er verbindet beide Phasen. Ist eine der sechs Größen $K_0$, $K_n$, $p_1$, $p_2$, $n_1$, $n_2$ gesucht, wird zuerst $K_{n_1}$ bestimmt – vorwärts aus $K_0$ mit $q_1^{n_1}$, wenn die Unbekannte in der zweiten Phase liegt, oder rückwärts aus $K_n$ durch Teilen durch $q_2^{n_2}$, wenn sie in der ersten Phase liegt. Danach bleibt in der anderen Phase eine gewöhnliche Zinseszinsaufgabe mit einer Unbekannten.

Kapitalvergleich

Lenas Tante möchte ebenfalls etwas beisteuern und stellt drei Varianten zur Wahl: 3 000 € sofort, oder 1 500 € sofort und 1 900 € in vier Jahren, oder 3 600 € in sechs Jahren. Welches Angebot ist am meisten wert?

Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten lassen sich nur vergleichen, wenn sie auf denselben Zeitpunkt bezogen werden. Üblich ist der Barwert, also der Wert zum Zeitpunkt $0$:

Mit $q = 1{,}03$ ergeben sich die Barwerte

Für jedes Angebot werden also die Barwerte aller Zahlungen addiert. Die Empfängerin wählt das Angebot mit dem höchsten Barwert – hier das zweite, obwohl das dritte die größte Summe verspricht. Ein Zahler würde umgekehrt den niedrigsten Barwert wählen.