Einführung
Die Kosten eines Unternehmens lassen sich durch verschiedene Funktionen modellieren. Eine besondere Rolle spielen dabei ertragsgesetzliche Kostenfunktionen. Diese lassen sich durch ganzrationale Funktionen dritten Grades $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ beschreiben und weisen folgende charakteristische Eigenschaften auf:
- Der y-Abschnitt ist positiv, denn die Fixkosten sind immer positiv.
- $K(x)$ ist monoton wachsend, denn mit zunehmender Produktionsmenge steigen auch die Gesamtkosten.
- Die Wendestelle ist positiv, denn $K(x)$ soll den charakteristischen Übergang von unterproportionalem zu überproprotionalem Kostenwachstum modellieren.
Graphische Darstellung der Ertragsgesetzlichkeit
Die folgende graphische Darstellung zeigt verschiedene Funktionen dritten Grades und dient der Unterscheidung zwischen ertragsgesetzlichem und nicht-ertragsgesetzlichem Verlauf:
Aus der Grafik ist ersichtlich, dass nur die Funktion $K(x)$ den Anforderungen an eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion genügt. Die weiteren Funktionen scheitern jeweils an einem Kriterium:
- $f(x)$ hat einen keinen positiven $y$-Abschnitt.
- $g(x)$ ist nicht monoton wachsend.
- $h(x)$ hat keine postive Wendestelle.
Auch mit Hilfe der Graphen der Grenzkostenfunktionen können wir - bis auf den positiven y-Abschnitt - prüfen, ob ein ertragsgesetzlicher Kostenverlauf vorliegt. Das folgende Diagramm zeigt die Graphen vierer Ableitungsfunktionen.
Aus der Grafik ist ersichtlich, dass nur die Funktion $K(x)$ den Anforderungen an eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion genügt. Die weiteren Funktionen scheitern jeweils mindestens an einem Kriterium:
- $f’(x)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Dann kann $f(x)$ grundsätzlich nicht ertragsgesetzlich sein, weil $f(x)$ z.B. einen negativen Leitkoeffizienten hat und somit für große $x$ streng monoton fallend ist.
- $g’(x)$ nimmt in einem Bereich negative Werte an. Damit ist $g(x)$ in diesem Bereich streng monoton fallend.
- $h’(x)$ hat eine negative Extremstelle. Diese entspricht der Wendestelle von $h(x)$. Die Wendestelle von $h(x)$ ist also negativ.
Rechnerischer Nachweis der Ertragsgesetzlichkeit
Um rechnerisch zu prüfen, ob eine Kostenfunktion $K(x)$ einen ertragsgesetzlichen Verlauf aufweist, müssen wir folgendes prüfen:
- Form: Die Funktion ist ganzrational dritten Grades, d.h. $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
- Fixkosten: Der y-Achsenabschnitt ist positiv, d. h. $K(0)>0$.
- Monotonie: Die Funktion ist monoton wachsend, d.h.$K’(x)\geq 0$.
- Wendepunkt: Die Wendestelle $x_w$ ist positiv, d.h. $x_w>0$.
1. Info
Welche Funktionen haben einen ertragsgesetzlichen Verkauf?\[\begin{align*}K_1(x)&=3x^2+4x+2\\K_2(x)&=0{,}5x^3-6x^2+30x-50\\K_3(x)&=0{,}5x^3-6x^2+15x+48\\K_4(x)&=0{,}5x^3+1{,}5x^2+7{,}5x+110{,}5\\K_5(x)&=0{,}5x^3-6x^2+30x+48\\\end{align*}\]
$K_1(x)$
$K_1(x)=3x^2+4x+2$ ist keine Funktion dritten Grades. 👉 nicht-ertragsgesetzlich ❌
$K_2(x)$
$K_2(x)=0{,}5x^3-6x^2+30x-50$ besitzt einen negativen y-Abschnitt. 👉 nicht-ertragsgesetzlich ❌
$K_3(x)$
Um zu prüfen, ob $K_3(x)=0{,}5x^3-6x^2+15x+48$ monoton wachsend ist, können wir versuchen Extremstellen zu bestimmen. Wenn es Extremstellen gibt, dann ist die Funktion nicht monoton wachsend. Wir berechnen $K_3’(x)=1{,}5x^2-12x^2+15$. Die notwendige Bedignung für Extrema lautet:
\[\begin{align*} 1{,}5x^2-12x^2+15&=0\quad |:(1{,}5)\\ 5x^2-8x^2+10&=0\quad |\text{ pq-Formel}\\ x_{1,2}=-\frac{-8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-8}{2}\right)^2-10}\\ x_{1,2}=4\pm\sqrt{6} \end{align*}\]Da der Term unter Wurzel positiv ist, existieren die einfachen Nullstellen $x_1$ und $x_2$. Es liegen also Extrema vor. 👉 nicht-ertragsgesetzlich ❌
(Wären beide Extremstellen negativ, so könnte durchaus im ökonomischen Definitionsbereich ein monotones Wachstum vorliegen. Da aber die Wendestelle positiv sein muss, können wir annehmen, dass zumindest die größere Extremstelle positiv ist.)
$K_4(x)$
Wir bestimmen die Wendestelle von $K_4(x)=0{,}5x^3+1{,}5x^2+7{,}5x+110{,}5$. Wir haben $K_4^{\prime\prime}(x)=3x+3$ und $K_4^{\prime\prime\prime}(x)=3$. Die notwendige Bedingung lautet:
\[\begin{align*} 3x+3&=0\\ x&=-1 \end{align*}\]Die hinreichende Bedingung:
\[K_4'''(-1)=3>0\text{ (minimale Steigung)}\]Die Wendestelle ist also negativ. 👉 nicht-ertragsgesetzlich ❌
$K_5(x)$
Für $K_5(x)=0{,}5x^3-6x^2+30x+48$ gilt:
- Die Funktion ist ganzrational dritten Grades. ✔️
- Der y-Achsenabschnitt ist positiv. ✔️
-
Wir versuchen die Extremstellen zu berechnen: Es ist $K_5’(x)=1{,}5x^2-12x+30$. Die notwendige Bedingung lautet
\[\begin{align*} 1{,}5x^2-12x^2+30&=0\quad |:(1{,}5)\\ x^2-8x^2+20&=0\quad |\text{ pq-Formel}\\ x_{1,2}=-\frac{-8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-8}{2}\right)^2-20}\\ x_{1,2}=4\pm\sqrt{-4} \end{align*}\]Da der Term unter Wurzel negativ ist, existieren keine Extremstellen. Die Funktion $K_5(x)$ ist also monoton, und zwar monoton wachsend, weil z.B. der Leitkoeffizient $0{,}5>0$ ist. ✔️
-
Wir berechnen die Wendestelle: Es ist $K_5^{\prime\prime}(x)=3x-12$. Die notwendige Bedingung lautet:
\[\begin{align*} 3x-12&=0\\ x&=4 \end{align*}\]Die hinreichende Bedingung:
\[K_5'''(4)=3>0\text{ (minimale Steigung)}\]Die Wendestelle $x_w$ ist also positiv. ✔️
Damit sind alle Kriterien erfüllt. 👉 ertragsgesetzlich ✅
Nachweis für parametrisierte Funktionen
Betrachten wir parametrisierte Funktionen, z.B.
\[K_a(x)=x^3-9x^2+ax+60,\]so könnte nur für einen bestimmen Paramterbereich ein ertragsgesetzlicher Verlauf vorliegen. Dazu betrachten wir die Graphen zu den Parametern $a=40$, $a=30$, $a=20$ und $a=10$.
Wir erkennen, dass nur $K_{40}$ und $K_{30}$ ertragsgesetzlich sind, $K_{20}$ und $K_{10}$ sind nicht monoton wachsend. Um feststellen zu können, für welche Paramter $a$ ein ertragsgesetzlicher Verlauf vorliegt, müssen wir die Kriterien in Abhängigkeit des Paramters $a$ prüfen.
2. Info
Für welche Parameter ist $K_a(x)=x^3-9x^2+ax+60$ ertragsgesetzlich?
- Da $K_a(0)=60$ für alle $a$ liegt immer ein positiver y-Abschnitt vor.
- Da $K_a^{\prime\prime}(x)=6x-18$ und $6x-18=0$ falls $x=3$ ist die Wendestelle immer positiv.
- Zur Monotonie: Wir berechnen die Nullstellen von $K_a’(x)=3x^2-18x+a$.
Nun ist $K’_a(x)\geq 0$ genau dann, wenn keine einfachen Nullstellen existieren. Dies ist genau dann der Fall, falls der Term unter der Wurzel nicht positiv ist, d.h. falls
\[\begin{align*} 9-\frac{a}{3}&\leq 0\quad |+\frac{a}{3}\\ 9&\leq \frac{a}{3}\quad |\cdot 3\\ 27&\leq a \end{align*}\]Also ist $K’_a(x)\geq 0$, falls $a\geq 27$.
Allgemeiner Nachweis
Um zu prüfen, ob eine Kostenfunktion $K(x)$ einen ertragsgesetzlichen Verlauf aufweist, sind folgende Bedingungen zu analysieren:
- $K(0)>0$.
- $x_w>0$.
- $K’(x)\geq 0$
Wir prüfen diese Bedingungen nun für die allgemeine Funktionen $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$:
- $K(0)>0$: Dies ist genau erfüllt, falls $d>0$.
-
$K’(x)\geq 0$: Zunächst muss $a>0$ sein, da sonst $K(x)$ für große $a$ monoton fallend wäre. Wir berechnen die Nullstellen der ersten Ableitung $K’(x)=3ax^2+2bx+c$.
\[\begin{align*} 3ax^2+2bx+c&=0\quad| :(3a)\\ x^2+\frac{2b}{3a}x+\frac{c}{3a}&=0\quad| \text{ pq-Formel}\\ x_{1,2}&=-\frac{-b}{3a}\pm \sqrt{\left(\frac{-b}{3a}\right)^2-\frac{c}{3a}} \end{align*}\]Nun gilt $K’(x)\geq 0$, falls der Term unter der Wurzel nicht-negativ ist: $\left(\frac{-b}{3a}\right)^2-\frac{c}{3a}\geq 0$, d.h. $b^2\leq 3ac$.
-
$x_w>0$: Wir berechnen allgemein die Wendestelle. Die Wendestelle ist die Nullstelle von $K^{\prime\prime\prime}(x)=6ax+2b$
\[\begin{align*} 6ax+2b&=0\\ x&=-\frac{b}{3a} \end{align*}\]Das heißt, $x_w>0$ falls $-\frac{b}{3a}>0$. Da generell $a>0$ ist, folgt $b<0$.
Wir fassen zusammen. Eine Funktion $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ist genau ertragsgesetzlich falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- $d>0$
- $a>0$
- $b^2\leq 3ac$
- $b<0$
Kennzahlen
Neben der gewöhnlichen Kostenfunktion $K(x)$, die die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Menge $x$ angibt, betrachten wir hier noch:
- die Grenzkostenfunktion $K’(x)$ (Ableitung von $K(x)$)
- die Stückkostenfunktion $k(x)=\frac{K(x)}{x}$
- variable Stückkostenfunktion $k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}$, wobei $K_v(x)$ die variablen Gesamtkosten sind
Für die Kostenfunktion $K(x)=0{,}5x^3 - 6x^2 + 30x + 48$ erhalten wir für die
- Grenzkosten: $K’(x) = 1{,}5x^2-12x+30$
- Stückkosten: $k(x)=0{,}5x^2 - 6x + 30 + \frac{48}{x}$
- variablen Stückkosten: $k_v(x)=0{,}5x^2 - 6x + 30 $
Diese Kostenfunktionen werden mit Hilfe folgender Kennzahlen beschrieben und analysiert.
- Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenwachstum: Menge, bis zu der die Kosten unterproportional steigen, danach überproportional.
- Betriebsminimum: Menge, bei die geringsten variablen Stückkosten auftreten.
- Kurzfristige Preisuntergrenze: Stückkosten, wenn im Betriebsminimum produziert wird - entspricht bei dem Preis, bei dem die variablen Stückkosten gedeckt sind.
- Betriebsoptimum: Menge, bei die geringsten Stückkosten auftreten.
- Langfristige Preisuntergrenze: Stückkosten, wenn im Betriebsoptimum produziert wird - entspricht bei dem Preis, bei dem die Stückkosten gedeckt sind.
3. Info
Mathematische Definition Kostenkennzahlen
Beschreibung der Kennzahlen mit Hilfe mathematischer Fachbegriffe
Graphische Darstellungen
4. Info
Graphische Bestimmung
Interpretation charakteristischer Punkte
Berechnungen
Um Kostenkennzahlen berechnen zu können, benötigen wir die unter anderem die Werkzeuge der Differentialrechnung. Um die Kennzahlen berechnen zu können, ist es nun wichtig, den richtigen mathematischen Ansatz zu wählen.
5. Info
Ansatz zur Berechnung von Extrem- und Wendestellen / Ableitung gebrochenrationaler Funktionen
- Extremstellen: Notwendige Bedingung $f’(x) = 0$, hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime}(x) > 0$ (Minimum) oder $f^{\prime\prime}(x) < 0$ (Maximum)
- Wendestellen: Notwendige Bedingung $f^{\prime\prime}(x) = 0$, hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime\prime}(x) > 0$ (minimale Steigung) oder $f^{\prime\prime\prime}(x)<0$ (maximale Steigung)
- Ableitung von $f(x)=\frac{1}{x}$: $f’(x)=-\frac{1}{x^2}$
- Ableitung von $f(x)=\frac{1}{x^2}$: $f’(x)=-\frac{1}{x^3}$
6. Info
Berechnung Kostenkennzahlen für $K(x)=0{,}5x^3 - 6x^2 + 30x + 48$
Wir bestimmen zunächst:
- Grenzkosten: $K’(x) = 1{,}5x^2-12x+30$
- variablen Stückkosten: $k_v(x)=0{,}5x^2 - 6x + 30 $
- Stückkosten: $k(x)=0{,}5x^2 - 6x + 30 + \frac{48}{x}$
Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenwachstum
Wendestelle von $K(x)=0{,}5x^3-6x^2+30x+48$:
Bestimme $K^{\prime\prime}(x)=3x-12$ und $K^{\prime\prime\prime}(x)=3$.
\[\begin{align*} 3x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4\\ K^{\prime\prime\prime}(4)=3 > 0 \text{ (minimale Steigung)} \end{align*}\]Der Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenwachstum findet bei 4 ME statt.
Betriebsminimum
Extremstelle von $k_v(x)=0{,}5x^2 - 6x + 30$.
Bestimme $k_v’(x)=x-6$ und $k_v^{\prime\prime}(x)=1$.
\[\begin{align*} x-6&=0 \Rightarrow x = 6\\ k_v^{\prime\prime}(6)&=1 > 0 (\text{ Minimum}) \end{align*}\]Das Betriebsminimum beträgt 6 ME.
Kurzfristige Preisuntergrenze
Einsetzen des Betriebsminimums in $k_v(x)$:
\[k_v(6) = 12\]Die kurzristige Preisuntergrenze beträgt 12 GE / ME.
Betriebsoptimum
Extremstelle von $k(x)=0{,}5x^2 - 6x + 30 + \frac{48}{x}$.
Bestimme $k’(x)=x-6-\frac{48}{x^2}$ und $k^{\prime\prime}(x)=1+\frac{96}{x^3}$.
\[\begin{align*} x-6-\frac{48}{x^2} &= 0\quad |\cdot(x^2)\\ x^3-6x^2-48&0 \Rightarrow x = 6{,}98\\ k^{\prime\prime}(6{,}98)&=1{,}8 > 0 (\text{ Minimum}) \end{align*}\]Das Betriebsoptimum beträgt 6,98 ME.
Langfristige Preisuntergrenze
Einsetzen des Betriebsoptimums in $k(x)$:
\[k(6{,}98) = 19{,}36\]Die langfristige Preisuntergrenze beträgt 19,36 GE / ME.
Exkurs: Alternative Bestimmung des Betriebsminimums und -optimums
Das Betriebsoptimum und Betriebsminimum lassen sich auch wie folgt bestimmen.
Satz
1. Das Betriebsoptimum ist die Schnittstelle der Grenzkosten- und Stückkostenfunktion:
\[x_{BO} = \text{Schnittstelle von } K' \text{ und } k.\]2. Das Betriebsminimum ist die Schnittstelle der Grenzkosten- und variablen Stückkostenfunktion:
\[x_{BM} = \text{Schnittstelle von } K' \text{ und } k_v.\]Beweis
1.
Eine allgemeine Kostenfunktion ist von der Gestalt
\[K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.\]Es folgt:
\[\begin{align*} K'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c \\ k(x) &= ax^2 + bx + c + \frac{d}{x} \\ k'(x) &= 2ax + b - \frac{d}{x^2} \end{align*}\]Das Betriebsoptimum $x_{BO}$ ist die Nullstelle der 1. Ableitung von $k’$, d.h.:
\[\begin{align*} k'(x_{BO}) &= 0 \\ 2a x_{BO} + b - \frac{d}{x_{BO}^2} &= 0 \quad \big| \cdot x_{BO}^2 \\ 2a x_{BO}^3 + b x_{BO}^2 - d &= 0 \end{align*}\]Für die Schnittstelle der Grenzkosten- und Stückkostenfunktion $x_s$ gilt:
\[\begin{align*} K'(x_s) &= k(x_s) \\ 3a x_s^2 + 2b x_s + c &= a x_s^2 + b x_s + c + \frac{d}{x_s} \\ 2a x_s^2 + b x_s - \frac{d}{x_s} &= 0 \quad \big| \cdot x_s \\ 2a x_s^3 + b x_s^2 - d &= 0 \end{align*}\]Es folgt die Behauptung, da die jeweils letzten Gleichungen identisch sind.
2.
Aus der Gestalt der allgemeinen Kostenfunktion folgt:
\[\begin{align*} k_v(x) &= ax^2 + bx + c \\ k_v'(x) &= 2a x + b \end{align*}\]Das Betriebsminimum $x_{BM}$ ist die Nullstelle der Ableitung von $k_v$, also:
\[\begin{align*} k_v'(x_{BM}) &= 0 \\ 2a x_{BM} + b &= 0 \end{align*}\]Für die Schnittstelle der Grenzkosten- und variablen Stückkostenfunktion $x_s$ gilt:
\[\begin{align*} K'(x_s) &= k_v(x_s) \\ 3a x_s^2 + 2b x_s + c &= a x_s^2 + b x_s + c \\ 2a x_s^2 + b x_s &= 0 \quad \big| :x_s,\ \text{da } x_s \ne 0 \\ 2a x_s + b &= 0 \end{align*}\]Es folgt die Behauptung, da die jeweils letzten Gleichungen identisch sind.
Steckbriefaufgaben
Ist die Gleichung einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion nicht bekannt, liegen jedoch Informationen über einzelne Kostenkennzahlen vor, so können wir unter Umständen die Funktionsgleichung $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ rekonstruieren, das heißt die Koeffizienten bestimmen.
Beispiel: Vorgabe Mengen
Gegeben: Für eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion $K(x)$ sei bekannt:
| Menge $x$ in ME | 1 | 2 | 3 | 5 |
| Kosten $K(x)$ in GE | 25 | 33 | 35 | 45 |
Gesucht: $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
Graphisch lässt sich die Situation so darstellen: Wir suchen den eine Funktion $K(x)$, deren Graph durch die angegebenen Punkte verläuft.
Zur Berechnung der Koeffizienten von $K(x)$ setzen wir die gegebenen Informationen in die Kostenfunktion ein:
\[\begin{alignat*}{5} K(1)=25 \;&\Rightarrow\;&\; a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 + c\cdot 1 + d &= 25 \;&\Rightarrow\;&\; 1a + 1b + 1c + 1d = 25 \\ K(2)=33 \;&\Rightarrow\;&\; a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d &= 33 \;&\Rightarrow\;&\; 8a + 4b + 2c + 1d = 33 \\ K(3)=35 \;&\Rightarrow\;&\; a\cdot 3^3 + b\cdot 3^2 + c\cdot 3 + d &= 35 \;&\Rightarrow\;&\; 27a + 9b + 3c + 1d = 35 \\ K(5)=45 \;&\Rightarrow\;&\; a\cdot 5^3 + b\cdot 5^2 + c\cdot 5 + d &= 45 \;&\Rightarrow\;&\; 125a + 25b + 5c + 1d = 45 \end{alignat*}\]Die jeweils letzten Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten. Dieses kann mit Hilfe des Gauß-Algorithmus oder dem Taschenrechner eindeutig gelöst werden. Wir erhalten:
\[a=1,\quad b=-9,\quad c=28,\quad d=5\]Damit ist $K(x)=x^3-9x^2+28x+5$.
Beispiel: Vorgabe allgemeine Informationen
Gegeben: Für eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion $K(x)$ sei bekannt:
- Die Kosten bei 2 ME betragen 88 GE.
- Das Betriebsminimum liegt bei 6 ME.
- Die Fixkosten betragen 48 GE.
- Die Grenzkosten bei 1 ME betragen 19,5 GE/ME.
Gesucht: $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
Um die gegebenen Informationen verwerten zu können, werden wir noch weitere Funktionen benötigen:
- variable Stückkosten: $k_v(x)=ax^2+bx+c$
- Ableitung der variablen Stückkosten: $k_v’(x)=2ax+b$
- Grenzkosten: $K’(x)=3ax^2+2bx+c$
Nun müssen Gleichungen finden, die den Vorgaben 1 - 4 entsprechen. Erwähnenswert ist die 2. Vorgabe. Da das Betriebsminimum eine Extremstelle der variablen Stückkostenfunktion $k_v(x)$ ist, gilt $k_v’(6)=0$.
Aus den Vorgaben 1 - 4 erhalten wir folgende Gleichungen:
\[\begin{alignat*}{5} &K(2)=88 \;&\Rightarrow\;&\; a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d = 88 \;&\Rightarrow\;&\; 8a + 4b + 2c + 1d = 88 \\ &k_v'(6)=0 \;&\Rightarrow\;&\; 2a\cdot 6 + b = 0 \;&\Rightarrow\;&\; 12a + b +0c +0d = 0 \\ &K(0)=48 \;&\Rightarrow\;&\; a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + 1d = 48 \;&\Rightarrow\;&\; 0a+0b+0c+1d = 48 \\ &K'(1)=19{,}5 \;&\Rightarrow\;&\; 3a\cdot 1^2 + 2b\cdot 1 + c = 19{,}5 \;&\Rightarrow\;&\; 3a + 2b + 1c +0d= 19{,}5 \end{alignat*}\]Die jeweils letzten Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten. Dieses kann mit Hilfe des Gauß-Algorithmus oder dem Taschenrechner eindeutig gelöst werden. Wir erhalten:
\[a=0{,}5,\quad b=-6,\quad c=30,\quad d=48\]Damit ist $K(x)=0{,}5x^3-6x^2+30x+48$.
7. Info
Plan zum Aufstellen von Funktionsgleichungen
- Aufstellen der allgemeinen Funktion: $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, ggf. weitere, z.B. $k_v(x)=ax^2+bx+c$.
- Gegebene Informationen durch Gleichungen ausdrücken.
- Aufstellen eines linearen Gleichungssystems.
- Lösen des Gleichungssystems und Angabe der gesuchten Funktion.