Einführung
Allgemein verwenden wir die Abkürzungen ME für Mengeneinheit und GE für Geldeinheit.
In Abhängigkeit von der Menge $x$ betrachten wir folgende Funktionen:
Preis-Absatz-Funktion
Die Preis-Absatz-Funktion $p(x)$ gibt an, wie hoch der Preis in GE pro abgesetzter ME ist. Da es keine negativen Preise gibt, gilt stets $p(x) \geq 0$. Es treten zwei Fälle auf:
- Im Angebotspolypol wird der Preis durch den Markt bestimmt. Dann ist $p(x)$ konstant, z. B. $p(x) = 32$ bei einem Marktpreis bzw. Gleichgewichtspreis von 32 GE.
- Im Angebotsmonopol kann das Unternehmen den Preis selbst festlegen. Da mit steigendem Preis die Absatzmenge sinkt, ist $p(x)$ eine monoton fallende Funktion. Wir betrachten in diesem abschnitt lineare Preis-Absatz-Funktionen mit negativer Steigung und positivem y-Achsenabschnitt, z. B. $p(x) = -5x + 60$.
Erlösfunktion
Die Erlösfunktion $E(x)$ gibt den Gesamterlös in GE in Abhängigkeit von der Absatzmenge $x$ an. Da der Gesamterlös gleich Preis mal Menge ist, gilt
\[E(x) = p(x) \cdot x\]- Im Beispiel zum Angebotspolypol ist
- Im Beispiel zum Angebotsmonopol ist
Kostenfunktion
Die Kostenfunktion $K(x)$ gibt die Gesamtkosten in GE in Abhängigkeit von der Absatzmenge $x$ an. Da die Kosten immer positiv und mit wachsender Menge zunehmend sind, ist $K(x)$ eine streng monoton wachsende Funktion. In diesem Abschnitt ist $K(x)$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades, zum Beispiel
\[K(x) = 0{,}5x^3 - 6x^2 + 30x + 48\]Gewinnfunktion
Die Gewinnfunktion $G(x)$ ergibt sich aus der Differenz zwischen Erlös und Kosten:
\[G(x) = E(x) - K(x)\]- Im Beispiel zum Angebotspolypol ist
- Im Beispiel zum Angebotsmonopol ist
Sind zwei dieser vier ökonomischen Funktionen bekannt, können wir die übrigen zwei berechnen (außer die bekannten Funktionen waren $p$ und $E$).
1. Info
Berechnen von Gleichungen ökonomischer Funktionen mit Hilfe von $E(x)=p(x)\cdot x$ und $G(x)=E(x)-K(x)$ (Angebotspolypol)
- Sind $p(x)$ und $K(x)$ gegeben, können mit Hilfe der Formeln direkt $E(x)$ und $G(x)$ berechnet werden.
- Andernfalls müssen die Formeln umgestellt werden: $p(x)=\frac{E(x)}{x}$, $K(x)=E(x)-G(x)$ und $E(x)=G(x)+K(x)$.
2. Info
Berechnen von Gleichungen ökonomischer Funktionen mit Hilfe von $E(x)=p(x)\cdot x$ und $G(x)=E(x)-K(x)$ (Angebotsmonopol)
siehe Info 1
Kennzahlen
Diese ökonomischen Funktionen werden mit Hilfe folgender Kennzahlen beschrieben und analysiert.
- Marktpreis: Preis im Marktgleichgewicht, auch Gleichgewichtspreis (Angebotspolypol).
- Höchstpreis: Maximaler Preis, den ein Konsument zu zahlen bereit ist (Angebotsmonopol).
- Sättigungsmenge: Absatzmenge, bei der trotz Preis null keine Nachfrage mehr besteht (Angebotsmonopol).
- Erlösmaximale Menge: Menge, bei der der Erlös maximal ist (Maximum der Erlösfunktion).
- Maximaler Erlös: Höchster möglicher Erlös, tritt bei der erlösmaximalen Menge auf.
- Fixkosten: Produktionsunabhängige Kosten (z. B. Miete).
- Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenwachstum: Menge, bis zu der die Kosten unterproportional steigen, danach überproportional.
- Gewinnschwelle: Absatzmenge, ab der Gewinn erwirtschaftet wird (erste Nullstelle von $G(x)$).
- Gewinngrenze: Höchste Menge, bei der noch Gewinn erzielt wird (letzte Nullstelle von $G(x)$).
- Gewinnmaximale Menge: Menge, bei der der Gewinn maximal ist (Maximum der Gewinnfunktion).
- Maximaler Gewinn: Wert von $G(x)$ bei der gewinnmaximalen Menge.
- Gewinnmaximaler Preis: Preis bei der gewinnmaximalen Menge (Angebotsmonopol).
- Break-even-Point: Punkt, an dem Erlöse und Kosten gleich sind
- Cournotscher Punkt: Punkt auf $p(x)$ mit gewinnmaximaler Menge und gewinnmaximalem Preis
3. Info
Mathematische Definition ökonomischer Kennzahlen
Beschreibung der Kennzahlen mit Hilfe mathematischer Fachbegriffe (y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extremstelle, Wendestelle)
Hinweise
- Eventuell müssen wir Kapazitätsgrenzen berücksichtigen. Liegt zum Beispiel im Angebotspolypol eine Kapazitätsgrenze vor, so ist die erlösmaximalen Menge, die im Angebotspolypol ohne Kapazitätsgrenze beliebig groß wäre, genau diese Kapazitätsgrenze.
- Denkbar wäre auch eine Kapazitätsgrenze unterhalb der lokalen Extremstelle (Maximum) der Gewinnfunktion. Dies müsste bei der Bestimmung der gewinnmaximalen Menge berücksichtigt werden.
- Wenn $G(x)$ stets negativ ist, d.h. wenn die Kosten immer größer als die Erlöse sind, gibt es weder eine Gewinnschwelle noch eine Gewinngrenze.
Graphische Darstellungen
Die beiden folgenden Diagramme veranschaulichen die ökonomischen Kennzahlen graphisch.
Angebotsmonopol (mit Kapazitätsgrenze $x=13$)
Angebotspolypol
4. Info
Graphische Bestimmung (Angebotspolypol)
Graphische Interpretation mathematischer Fachbegriffe (y-Achsenabschnitt, Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen)
5. Info
Graphische Bestimmung (Angebotsmonopol)
siehe Info 4
Berechnungen
Um ökonomische Kennzahlen berechnen zu können, benötigen wir die unter anderem die Werkzeuge der Differentialrechnung. Um die Kennzahlen berechnen zu können, ist es nun wichtig, den richtigen mathematischen Ansatz zu wählen.
6. Info
Ansatz zur Berechnung charakteristischer Punkte einer Funktion $f(x)$.
- y-Abschnitt: $f(0)$
- Nullstellen: $f(x)=0$
- Extremstellen: Notwendige Bedingung $f^{\prime}(x) = 0$, hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime}(x) > 0$ (Minimum) oder $f^{\prime\prime}(x) < 0$ (Maximum)
- Wendestellen: Notwendige Bedingung $f^{\prime\prime}(x) = 0$, hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime\prime}(x) > 0$ (minimale Steigung) oder $f^{\prime\prime\prime}(x)<0$ (maximale Steigung)
7. Info
Berechnung ökonomischer Kennzahlen (Angebotspolypol).
Marktpreis
Es seien $p(x)=32$ und so $E(x)=32x$. Der Markpreis beträgt hier 32 GE.
Für weitere Kennzahlen siehe Info 8.
8. Info
Berechnung ökonomischer Kennzahlen (Angebotsmonopol). Den Beispielen liegen folgende Funktionen zugrunde:\[\begin{align*}p(x)&=-5x+60\\E(x)&=-5x^2+60x\\K(x)&=0{,}5x^3-6x^2+30x+48\\G(x)&=-0{,}5x^3+x^2+30x-48\end{align*}\]
Höchstpreis
Der y-Achsenabschnitt von $p(x) = -5x + 60$:
\[p(0) = 60\]Der Höchstpreis beträgt 60 GE.
Sättigungsmenge
Nullstelle von $p(x)$:
\[\begin{align*} -5x + 60 &= 0 \\ x &= 12 \end{align*}\]Die Sättigungsmenge beträgt 12 ME.
Erlösmaximale Menge
Extremstelle von $E(x) = -5x^2 + 60x$:
Bestimme $E^{\prime}(x)=-10x+60$ und $E^{\prime\prime}(x)=-10$.
\[\begin{align*} -10x + 60 &= 0 \Rightarrow x = 6\\ E^{\prime\prime}(6)&=-10 < 0 \text{ (Maximum)} \end{align*}\]Die erlösmaximale Menge beträgt 6 ME.
Maximaler Erlös
Einsetzen der erlösmaximale Menge in $E(x)$:
\[E(6) = -5 \cdot 6^2 + 60 \cdot 6 = -180 + 360 = 180\]Der maximale Erlös beträgt 180 GE.
Fixkosten
y-Achsenabschnitt der Kostenfunktion $K(x)=0{,}5x^3-6x^2+30x+48$:
\[K(0) = 48\]Die Fixkosten betragen 48 GE.
Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenwachstum
Wendestelle von $K(x)=0{,}5x^3-6x^2+30x+48$:
Bestimme $K^{\prime\prime}(x)=3x-12$ und $K^{\prime\prime\prime}(x)=3$.
\[\begin{align*} 3x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4\\ K^{\prime\prime\prime}(4)=3 > 0 \text{ (minimale Steigung)} \end{align*}\]Der Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenwachstum findet bei 4 ME statt.
Gewinnschwelle und Gewinngrenze
Erste und letzte positive Nullstelle von $G(x)=-0{,}5x^3+x^2+30x-48$:
\[\begin{align*} -0{,}5x^3 + x^2 + 30x - 48 &=0 \Rightarrow x_1=-7{,}58,\ x_2=1{,}58,\ x_3=8\\ (x_1&=-7{,}58 \text{ liegt nicht im ökonomischen Definitionsbereich}) \end{align*}\]Die Gewinnschwelle beträgt 1,53 ME und die Gewinngrenze bei 8 ME .
Gewinnmaximale Menge
Extremstelle von $G(x)=-0{,}5x^3+x^2+30x-48$:
Bestimme $G^{\prime}(x)= -1{,}5x^2 + 2x + 30 $ und $G^{\prime\prime}(x)=-3x+2$
\[\begin{align*} -1{,}5x^2 + 2x + 30 & = 0 \Rightarrow x_1=-3{,}86,\ x_2=5{,}19\\ G^{\prime\prime}(5{,}19)&=-3\cdot 5{,}19+2=-13{,}57<0 \text{ (Maximum)}\\ (x_1&=-3{,}86\text{ liegt nicht im ökonomischen Definitionsbereich}) \end{align*}\]Die gewinnmaximale Menge beträgt 5,19 GE.
Maximaler Gewinn
Einsetzen der gewinnmaximalen Menge in $G(x)$:
\[G(5{,}19) = 64{,}74\]Der maximale Gewinn beträgt 64,74 GE.
Gewinnmaximaler Preis
Einsetzen der gewinnmaximalen Menge in $p(x)$:
\[p(5{,}19) = 34{,}05\]Der gewinnmaximale Preis beträgt 34,05 GE.