Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Einführung

Wir betrachten ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit den zwei Ereignissen

• $A$: Ein Schüler lernt für die Prüfung.
• $B$: Ein Schüler besteht die Prüfung.

Das Baumdiagramm habe die Gestalt

Hat ein Schüler gelernt, so besteht er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % die Prüfung, hat er nicht gelernt, besteht er die Prüfung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die Prüfung besteht, hängt also davon ab, ob er gelernt hat. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit für $B$ (und auch für $\overline{B}$) hängt davon ab, ob $A$ eingetreten ist (oder nicht). Diese Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe des Baumdiagramms heißen bedingte Wahrscheinlichkeiten, da für sie eine Bedingung $-$ hier $A$ oder $\overline{A}$ $-$ vorliegt. Wir verwenden die folgenden Bezeichnungen

Es ergeben sich die folgenden Interpretationen:

• $P_A(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler, der für die Prüfung gelernt hat, die Prüfung auch besteht.
• $P_A(\overline{B})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler, der für die Prüfung gelernt hat, die Prüfung nicht besteht.
• $P_{\overline{A}}(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler, der nicht für die Prüfung gelernt hat, die Prüfung dennoch besteht.
• $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler, der nicht für die Prüfung gelernt hat, die Prüfung auch nicht besteht.

Ähnliches gilt für die Wahrscheinlichkeiten $P_B(A)$, $P_B(\overline{A})$, $P_{\overline{B}}(A)$ und $P_{\overline{B}}(\overline{A})$.

Wichtig ist die Unterscheidung zwischen $P(A\cap B)$, $P_A(B)$ und $P_B(A)$:

• $P(A\cap B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die Prüfung besteht und gelernt hat.
• $P_A(B)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die Prüfung besteht, wenn er gelernt hat.
• $P_B(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler gelernt hat, wenn er die Prüfung besteht.

Berechnungen

Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass $P(A)\cdot P_A(B) = P(A\cap B)$. Damit folgt unmittelbar

Für $P_A(B)$ ist auch die Bezeichnung $P(B|A)$ üblich. Wir nennen $P_A(B)$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$. Entsprechend gilt die Formel für andere Konstellationen, z.B. $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ oder $P_{\overline{A}}(B)=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})}$.

Im Beispiel haben wir $P_A(B)=0{,}9$ und $P_{\overline{A}}(B)=0{,}2$. Die Wahrscheinlichkeit eine Prüfung zu bestehen ist also größer, wenn man gelernt hat.

Das Ganze und der Teil

Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich auch mit Hilfe relativer Häufigkeiten beschreiben. Allgemein können Wahrscheinlichkeiten als relative Häufigkeiten oder Anteile interpretiert werden:

Angenommen in unserem Beispiel haben 200 Schüler die Prüfung geschrieben. Dann haben

• 126 Schüler $-$ oder $\frac{126}{200}=63\%$ $-$ gelernt und die Prüfung bestanden,
• 14 Schüler $-$ oder $\frac{14}{200}=7\%$ $-$ gelernt und die nicht Prüfung bestanden,
• 12 Schüler $-$ oder $\frac{12}{200}=6\%$ $-$ nicht gelernt und die Prüfung bestanden,
• 48 Schüler $-$ oder $\frac{48}{200}=24\%$ $-$ nicht gelernt und die Prüfung nicht bestanden.

Für $P_A(B)$ betrachten wir nur die Schüler, die gelernt haben, das sind $126+14=140.$ Davon haben nun $126$ die Prüfung bestanden. Wir erhalten $P_A(B)=\frac{126}{140}=90\%$.

Zusammengefasst:

• $P(A\cap B)$: Der Teil sind die Schüler, die die Prüfung bestanden und gelernt haben. Das Ganze sind alle Schüler.
• $P_A(B)$: Der Teil sind die Schüler, die die Prüfung bestanden und gelernt haben. Das Ganze sind die Schüler, die gelernt haben.

Das inverse Baumdiagramm

Es ist wichtig zu erwähnen, dass im Baumdiagramm

die Wahrscheinlichkeiten $P_B(A)$, $P_B(\overline{A})$, $P_{\overline{B}}(A)$ und $P_{\overline{B}}({\overline{A}})$ nicht abgelesen werden können. Um diese bedingten Wahrscheinlichkeiten ablesen zu können, benötigen wir $B$ und $\overline{B}$ auf der ersten und $A$ und $\overline{A}$ auf der zweiten Stufe. Mit anderen Worten: Wir müssen ein neues Baumdiagramm aufstellen, das sogenannte inverse Baumdiagramm, indem $A$ und $B$ vertauscht sind.

Dafür berechnen wir zunächst $P(B)=0{,}05+0{,}15=0{,}2$. Damit ist $P(\overline{B})=0{,}8$. Aus $P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)$ (1. Pfadendwahrscheinlichkeit des inversen Baumdiagramms) folgt dann $P_B(A)=0{,}05:0{,}2=0{,}25$. Analog berechnen wir die weiteren bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Das inverse Baumdiagramm lautet schließlich

Hier treten nun die Wahrscheinlichkeiten mit $B$- und $\overline{B}$-Bedingung auf. Wir können z.B. ablesen, dass $P_{\overline{B}}(A)=0{,}5625$ ist. Für das Beispiel bedeutet dies: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler, der die Prüfung nicht besteht, gelernt hat, beträgt 56,25 %.

Der Satz von Bayes

Aus der Defintion der bedingten Wahrscheinlichkeit

folgt $P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)$. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit mit $A$ und $B$ vertauscht gilt dann

Mit letzterer Formel lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten direkt umrechnen, sie wird auch Satz von Bayes genannt.

Im obigen Baumdiagramm gilt beispielsweise

Stochastische Unabhängigkeit

Eng verbunden mit dem Begriff der stochastischen Unabhängigkeit ist die stochastische Unabhängigkeit. Wir erinnern an das Einführungsbeispiel mit den zwei Ereignissen

• $A$: Ein Schüler lernt für die Prüfung.
• $B$: Ein Schüler besteht die Prüfung.

und dem Baumdiagramm

Die Wahrscheinlichkeit von $B$ hängt hier davon ab, ob $A$ eingetreten ist. Wir sagen dazu auch, dass $A$ und $B$ stochastisch abhängig sind. Wäre dies nicht der Fall, hätte das Baumdiagramm also z.B. die Gestalt

so wäre die Wahrscheinlichkeit von $B$ nicht davon abhängig, ob $A$ eingetreten ist. Wir sagen dann, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind. Mit anderen Worten: Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, falls $P_A(B)=P_{\overline{A}}(B)$.

Auf unser Beispiel bezogen (mit dem 2. Baumdiagramm) bedeutet die stochastische Unabhängigkeit von $A$ und $B$, dass das Lernen für eine Prüfung unabhängig vom Bestehen der Prüfung ist.

Baumdiagramme und stochastische Unabhängigkeit

2. Info

Sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig, so können wir diese Information beim Erstellen von Baumdiagrammen gezielt nutzen: Die beiden Wahrscheinlichkeitspaare auf der zweiten Stufe stimmen überein.

Ein Baumdiagramm mit stochastisch unabhängigen Ereignissen $A$ und $B$ habe die Gestalt

Wie lautet die Wahrscheinlichkeit 5 ? Da $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind gilt $P_A(B)=P_{\overline{A}}(B)$. Die Wahrscheinlichkeit 5 ist also $0{,}3$. Das restliche Baumdigramm kann nun wie gewohnt vervollständigt werden.

Haben wir ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm vorliegen, so können wir wie gewohnt verschiedene Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Weitere Formulierungen der stochastischen Unabhängigkeit

Es gibt mehrere ähnliche Aussagen, die alle die stochastische Unabhängigkeit beschreiben. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. $P_A(B)=P_{\overline{A}}(B)$
2. $P(B)=P_A(B)$
3. $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Außerdem können hier beliebig $A$ durch $\overline{A}$ und $B$ durch $\overline{B}$ ersetzt werden. Das heißt: $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, falls $A$ und $\overline{B}$ (oder $\overline{A}$ und $B$ oder $\overline{A}$ und $\overline{B}$) stochastisch unabhängig sind.

Exkurs: Beweise

• 1 ist äquivalent zu 2:

  Die Pfadadditionsregel besagt, dass

  \[P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B).\]

  Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass

  \[P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)\]

  und

  \[P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B).\]

  Damit folgt

  \[P(B) = P(A)\cdot P_A(B) + P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B).\]

  Es gilt $P_A(B)=P_{\overline{A}}(B)$ genau dann, wenn

  \[P(B) = P(A)\cdot P_A(B) + P(\overline{A})\cdot P_A(B).\]

  Es folgt

  \[P(B)=(P(A)+P(\overline{A}))\cdot P_A(B).\]

  Da $P(A)+P(\overline{A})=1$ ist nun $P(B)=P_A(B)$.

• 2 ist äquivalent zu 3: Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass $P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)$. Nun gilt $P(B)=P_A(B)$ genau dann, wenn $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

Prüfen auf stochastische Unabhängigkeit

Um festzustellen, ob zwei Ereinisse $A$ und $B$ stochastisch abhängig oder unabhängig sind, müssen wir eine der obigen drei Formulierungen prüfen. Sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt, weil z.B. das Baumdiagramm gegeben ist, können wir die stochastische Unabhängigkeit direkt mit der 1. Formulierung (“die Pfadwahrscheinlichkeiten der 2. Stufe sind gleich”) feststellen (siehe Beispiele oben).

Sind keine bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt, verwenden wir häufig die 3. Formulierung.

Beispiel: Cannabis und Amphetamine (1)

Wir betrachten die Ereignisse

• A: Eine Person konsumiert Cannabis.
• B: Eine Person konsumiert Amphetamine.

Aus Studien sei bekannt, dass $P(A)=3\%$ und $P(B)=1\%$. Außerdem gelte $P(A\cap B)=0{,}02\%$.

Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

Es gilt $P(A)\cdot P(B)=0{,}03\cdot 0{,}01=0{,}0003$. Da $P(A\cap B)=0{,}0002\neq0{,}0003$ sind $A$ und $B$ stochastisch abhängig.

Beispiel: Romeo und Julia (1)

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide anwesend sind, beträgt 45 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide fehlen, beträgt 10 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass Romeo anwesend ist und Julia fehlt, beträgt 15 %.

Wir betrachten die Ereignisse:

• A: Romeo ist anwesend.
• B: Julia ist anwesend.

Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

Es gilt $P(A\cap B)=0{,}45$, $P(\overline{A}\cap \overline{B})=0{,}1$ und $P(A\cap \overline{B})=0{,}15$. Wir berechnen

Nun ist $P(A)\cdot P(\overline{B})=0{,}6 \cdot 0{,}25 = 0{,}15$. Es gilt also $P(A)\cdot P(\overline{B}) = P(A\cap \overline{B})$. Damit sind $A$ und $\overline{B}$ stochastisch unabhängig, und somit auch $A$ und $B$. (Diese Berechnungen werden mit den Begriffen des nächsten Abschnitts übersichtlicher.)

Vier-Felder-Tafeln

Neben Baumdiagrammen können Zufallsexperimente mit zwei Ereignissen auch durch Vier-Felder-Tafeln dargestellt werden. Die allgemeine Form lautet

Das Summenzeichen $\Sigma$ beschreibt, dass die äußeren Wahrscheinlichkeiten gleich der Summe zugehörigen inneren Wahrscheinlichkeiten sind:

• $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$
• $P(\overline{A}) = P(\overline{A} \cap B) + P(\overline{A} \cap \overline{B})$
• $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$
• $P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap \overline{B})$

Diese Beobachtung ist wichtig, wenn wir Vier-Felder-Tafeln aufstellen wollen.

Beispiel: Cannabis und Amphetamine (2)

Wir hatten die Ereignisse

• A: Eine Person konsumiert Cannabis.
• B: Eine Person konsumiert Amphetamine.

Bekannt war, dass $P(A)=3\%$, $P(B)=1\%$ und $P(A\cap B)=0{,}02\%$. Damit ergibt sich

Die übrigen Wahrscheinlichkeiten können wie folgt berechnet werden:

• $P(\overline{A}) = 1-0{,}03 = 0{,}97$
• $P(\overline{B}) = 1-0{,}01 = 0{,}99$
• $P(\overline{A} \cap B)= 0{,}01 - 0{,}0002 = 0{,}0098$
• $P(A \cap \overline{B}) = 0{,}03 - 0{,}0002 = 0{,}0298$
• $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}97 - 0{,}0098 = 0{,}9602$

Damit lautet die vollständige Vier-Felder-Tafel

Hier können wir z.B. ablesen, dass eine Person mit einer Wahrschheinlichkeit von 96,02 % weder Cannabis noch Amphetamine konsumiert.

Beispiel: Romeo und Julia (2)

Wir hatten die Ereignisse

• A: Romeo ist anwesend.
• B: Julia ist anwesend.

Bekannt war $P(A\cap B)=0{,}45$, $P(\overline{A}\cap \overline{B})=0{,}1$ und $P(A\cap \overline{B})=0{,}15$. Damit ergibt sich

Die übrigen Wahrscheinlichkeiten können wie folgt berechnet werden:

• $P(A) = 0{,}45 + 0{,}15 = 0{,}6$
• $P(\overline{A}) = 1- 0{,}6 = 0{,}4$
• $P(\overline{B}) = 0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}25$
• $P(B) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$
• $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}75 - 0{,}45 = 0{,}3$

Damit lautet die vollständige Vier-Felder-Tafel

Hier können wir z.B. ablesen, dass Romeo mit einer Wahrschheinlichkeit von 60 % anwesend ist.

Haben wir eine vollständig ausgefüllte Vier-Felder-Tafel vorliegen, so können wir wie verschiedene Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Vier-Felder-Tafeln und stochastische Unabhängigkeit

Eine Formulierung der stochastischen Unabhängigkeit ist $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Diese Bedingung kann leicht anhand einer Vier-Felder-Tafel geprüft werden: Der innere Wert $P(A\cap B)$ ist das Produkt der entsprechenden äußeren Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$. Ist dies der Fall, so sagen wir, dass die Vier-Felder-Tafel multiplikativ ist.

Haben wir eine vollständig ausgefüllte Vier-Felder-Tafel vorliegen, können wir sie interpretieren. Um dabei festzustellen, ob $A$ und $B$ stochastisch unabhägig sind, müssen wir prüfen, ob die Vier-Felder-Tafel multiplikativ ist.

Beispiel: Cannabis und Amphetamine (3)

Die Vier-Felder-Tafel hatte die Gestalt

Wir erkennen, dass $0{,}03 \cdot 0{,}01 \neq 0{,}0002$ ist. Die Vier-Felder-Tafel ist nicht multiplikativ, und $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.

Beispiel: Romeo und Julia (3)

Die Vier-Felder-Tafel hatte die Gestalt

Wir erkennen, dass $0{,}6 \cdot 0{,}75 = 0{,}45$ ist. Die Vier-Felder-Tafel ist multiplikativ, und $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig.

Vergleich: Baumdiagramme und Vier-Felder-Tafeln

Baumdiagramme und Vierfeldertafeln stellen Wahrscheinlichkeiten, die beim Betrachten von zwei Ereignissen auftreten, auf unterschiedliche Weise dar. In Baumdiagrammen lassen sich die einzelnen Stufen eines Zufallsexperiments gut nachvollziehen: Zunächst tritt das Ereignis $A$ ein, anschließend das Ereignis $B$. Dabei können bedingte Wahrscheinlichkeiten wie $P_A(B)$ direkt abgelesen werden. Vierfeldertafeln hingegen behandeln die Ereignisse $A$ und $B$ symmetrisch. Sowohl $P(A)$ als $P(B)$ sind direkt aus den Tabellenwerten ersichtlich.

Weitere Aufgaben

Stehen weder ein Baumdiagramm noch eine Vierfeldertafel zur Verfügung, können wir mit den vorgestellten Formeln arbeiten. Dabei kann es jedoch hilfreich sein, sich das Baumdiagramm oder die Vierfeldertafel gedanklich vorzustellen.

Venn-Diagramme

Bedingte Wahrscheinlichkeiten können auch in Venn-Diagrammen dargestellt werden. Das Ereignis, auf das die jeweilige Bedingung nicht zutrifft, wird weiß gefärbt. Das dunkle Blau bezeichnet den Teil, das dunkle zusammen mit dem hellen Blau das Ganze:

$P_A(B)$	$P_B(\overline{A})$	$P_A(\overline{B})$