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Einführung
Wenn mehrere Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt werden, sprechen wir von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Zur übersichtlichen Darstellung nutzen wir häufig Baumdiagramme. Für jede Stufe des Zufallsexperiments werden die Ergebnisse des einzelnen Zufallsexperiments als Knotenpunkte dargestellt. Die Stufen werden dann durch Pfade miteinander verbunden. Ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperiments entspricht dann einem vollständigen Pfad im Baumdiagramm. An den einzelnen Pfaden stehen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es gibt zwei wichtige Regeln:
- Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades.
- Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis führen.
Da generell die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments immer gleich 1 ist, ist auch die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die von einem Knotenpunkt starten, gleich 1. Ebenso ist auch die Summe der Endwahrscheinlichkeiten gleich 1.
Beispiel: Zweimaliger Münzwurf
Kopf ($K$) und Zahl ($Z$) treten bei einem einmaligen Wurf beide mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % auf. Daraus ergibt sich folgendes Baumdiagramm:
Nach der Pfadmultiplikationsregel haben wir jede Endwahrscheinlichkeit mit $0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$ berechnet.
Betrachten wir z.B. das Ereignis $E$: “Es wird zweimal das Gleiche geworfen.”, so ist $E=\{KK, ZZ\}$, und nach der Pfadadditionsregel folgt nun
\[\begin{align*} P(E)&=P(\{KK\})+P(\{ZZ\})\\ &=0{,}25+0{,}25\\ &=0{,}5. \end{align*}\]Baumdiagramme vervollständigen
Häufig stehen wir vor der Aufgabe, ein unvollständiges Baumdiagramm zu vervollständigen. Dazu verwenden wir, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die von einem Knotenpunkt starten, gleich 1 ist. Außerdem wenden wir die Pfadregeln geschickt an.
Direktes Anwenden der Pfadmultiplikationsregel
Umformen der Pfadmultiplikationsregel
Anwenden der aller Pfadregeln
Baumdiagramme interpretieren
Häufig liegt eine Situation vor, in der zwei Ereignisse $A$ und $B$ und deren Gegenereignisse auftreten. Bei der Interpretation eines Baumdiagramms müssen wir genau darauf achten, welche Wahrscheinlichkeiten gesucht sind.
Weitere Baumdigramme
Baumdiagramme eignen sich auch dazu, komplexere Zufallsexperimente zu veranschaulichen. Wichtig ist, den Text gründlich zu lesen, um die Struktur des Zufallsexperiments zu verstehen. Dann können wir das Baumdiagramm zeichnen, die im Text gegebenen Wahrscheinlichkeiten notieren und schließlich die Pfadregeln anwenden.