Mehrstufige Produktionsprozesse

Produktionsmatrizen geben an, wie viele ME eines Inputprodukts für eine ME eines Outputprodukts benötigt werden, dabei gilt:

• Zeilentitel ➡️ Input
• Spaltentitel ➡️ Output

Ist z.B.

\[RZ = \begin{pmatrix} 3&5\\ 4&2\\ \end{pmatrix},\]

so sind die Rohstoffe der Input und die Zwischenprodukte der Output. Die $4$ bedeutet also: Für eine ME von Z1 werden $4$ ME von R2 benötigt.

Die Produktionsmatrix eines zweistufigen Produktionsprozesses $RE$ ist das Produkt der Produktionsmatrizen der ersten ($RZ$) und zweiten Stufe ($ZE$):

\[RE=RZ\cdot ZE\]

Diese Gleichung kann, falls die jeweilgen inversen Matrizen existieren, nach $RZ$ und $ZE$ umgeformt werden:

• $RZ = RE\cdot ZE^{-1}$
• $ZE=RZ^{-1}\cdot RE$

Mit einer Produktionsmatrix lässt sich aus einem gegebenen Output der benötigte Input bestimmen:

• $\vec{r}=RE\cdot\vec{m}$
• $\vec{z}=ZE\cdot\vec{m}$
• $\vec{r}=RZ\cdot\vec{z}$

Die Gleichungen (siehe 3. Info) können, falls die jeweilgen inversen Matrizen existieren, so umgeformt werden, dass sich aus einem gegebenen Input der mögliche Output bestimmt werden kann:

• $\vec{m}=RE^{-1}\cdot\vec{r}$
• $\vec{m}=ZE^{-1}\cdot\vec{z}$
• $\vec{z}=RZ^{-1}\cdot\vec{r}$

Kosten

• Rohstoffkosten

\[\begin{align*} \vec{k}_R\cdot \vec{r}&=\vec{k}_R\cdot RE\cdot\vec{m} \end{align*}\]

• Fertigungskosten der 1. Produktionsstufe

\[\begin{align*} \vec{k}_Z\cdot \vec{z}&=\vec{k}_Z\cdot ZE\cdot\vec{m} \end{align*}\]

• Fertigungskosten der 2. Produktionsstufe

\[\begin{align*} \vec{k}_E\cdot \vec{m}&= \end{align*}\]

• Variable Stückkosten:

\[\begin{align*} \vec{k}_v&=\vec{k}_R\cdot RE + \vec{k}_Z\cdot ZE + \vec{k}_E \end{align*}\]

• Variable Kosten:

\[\begin{align*} K_v&=\vec{k}_v\cdot\vec{m}\\ &=\vec{k}_R\cdot RE\cdot\vec{m} + \vec{k}_Z\cdot ZE\cdot\vec{m} + \vec{k}_E\cdot\vec{m}$ \end{align*}\]

• Fixkosten

\[\begin{align*} K_{f} \end{align*}\]

• Gesamtkosten

\[\begin{align*} K=K_v+K_{f} \end{align*}\]

Erlöse

• Gesamterlös:

\[\begin{align*} E=\vec{p}\cdot {m} \end{align*}\]

Deckungsbeiträge

• Stückdeckungsbeitrag:

\[\begin{align*} \vec{db}=\vec{p}-\vec{k}_v \end{align*}\]

• Gesamtdeckungsbeitrag:

\[\begin{align*} DB=\vec{db}\cdot\vec{m} \end{align*}\]

Gewinne

• Gesamtgewinn:

\[\begin{align*} G=E-K \end{align*}\]