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Einführung

Der Produktlebenszyklus beschreibt die Entwicklung des jährlichen Umsatzes eines Produkts über die Zeit seit seiner Markteinführung. Die Umsatzfunktion $u(t)$ gibt den (wöchentlichen, monatlichen, jährlichen) Umsatz in Geldeinheiten (GE) zum Zeitpunkt $t$ (in Wochen, Monsten, Jahren) nach der Produkteinführung an.

Typische Produktlebenszyklusfunktionen bestehen aus einem Produkt von Polynomen und der natürlichen Exponentialfunktion, z.B.:

\[u(t) = (-2t^2+24t) \cdot e^{-0{,}2t}\]

Der Produktlebenszyklus durchläuft dabei häufig folgende Phasen:

  1. Einführungsphase: Der Umsatz steigt zunächst langsam an.
  2. Wachstumsphase: Der Umsatz wächst immer stärker.
  3. Reifephase: Das Umsatzwachstum verlangsamt sich, der maximale Umsatz wird erreicht.
  4. Degenerationsphase: Der Umsatz geht zurück.

Je nach Funktionstyp endet der Produktlebenszyklus auf zwei verschiedene Arten:

  • Marktaustritt: Das Produkt wird vom Markt genommen, wenn der jährliche Umsatz auf null sinkt, d.h. $u(t)=0$ für ein $t > 0$.
  • Langfristiger Umsatz: Der jährliche Umsatz nähert sich langfristig einem festen Wert $d > 0$ an, d.h. $\lim\limits_{t \to \infty} u(t) = d$.

Kennzahlen des Produktlebenszyklus

Die folgenden Kennzahlen beschreiben den Produktlebenszyklus:

Kennzahl Bedeutung
$u(0)$ Jährlicher Umsatz bei der Produkteinführung
Extremstelle (Hochpunkt) von $u$ Zeitpunkt des höchsten jährlichen Umsatzes
Maximum von $u$ Höhe des höchsten jährlichen Umsatzes
Extremstelle (Hochpunkt) von $u^{\prime}$ Zeitpunkt des stärksten Umsatzanstiegs
Extremstelle (Tiefpunkt) von $u^{\prime}$ Zeitpunkt des stärksten Umsatzrückgangs
$u^{\prime}(t_0)$ Jährliche Veränderung des Umsatzes zum Zeitpunkt $t_0$
$u(t)=0$ für $t>0$ Marktaustritt
$\lim\limits_{t \to \infty}u(t)$ Langfristig zu erwartender jährlicher Umsatz

Graphische Bestimmung der Kennzahlen

Der Graph der Umsatzfunktion

Im Folgenden verwenden wir die Funktion $u(t)=(-2t^2+24t)\cdot e^{-0{,}2t}$ (mit Marktaustritt bei $t=12$) als durchgängiges Beispiel für die detaillierte Analyse.

Der Graph der Ableitungsfunktion

Die Ableitung $u^{\prime}(t)$ gibt die jährliche Veränderung des Umsatzes an. Aus dem Graphen von $u^{\prime}(t)$ lassen sich diejenigen Kennzahlen ablesen, die nicht vom absoluten Wert des Umsatzes abhängen.

Rechnerische Bestimmung der Kennzahlen (ohne Integration)

Die Kennzahlen des Produktlebenszyklus lassen sich auch rechnerisch bestimmen. Dazu benötigen wir $u(t)$ sowie die ersten drei Ableitungen.

Wichtige Eigenschaft: Da $e^{-ct}>0$ für alle $t$ gilt, können bei der Nullstellensuche die Exponentialanteile vernachlässigt werden – es genügt, die Nullstellen des Polynomanteil zu bestimmen.

Kennzahlen mit Integration

Mithilfe der Integration lassen sich weitere Kennzahlen des Produktlebenszyklus berechnen.

Zetrale Beobachtung: Wenn $u(t)$ den jährlichen Umsatz angibt, dann gibt die Fläche unter dem Graphen von $u$ über einem Intervall $[a;b]$ den Gesamtumsatz in diesem Zeitraum an.

Wir müssen genauesten unterscheiden zwischen

  • dem jährlichen Umsatz $u(t)$ (Wert der Funktion $u$) und
  • dem Gesamtumsatz (Fläche unter dem Graphen von $u$ über dem Intervall $[a;b]$).

Formeln

  • Umsatz über einen Zeitraum vom Ende des $a$-ten bis zum Ende des $b$-ten Jahres:

    \[\int_a^b u(t)\,dt\]

  • Durchschnittlicher jährlicher Umsatz vom Ende des $a$-ten bis zum Ende des $b$-ten Jahres:

    \[\bar{u}=\frac{1}{n}\int_a^b u(t)\,dt\]

  • Gesamtumsatz während des Produktlebenszyklus (von $t=0$ bis zum Ende $t=T$):

    \[U_{\text{gesamt}}=\int_0^T u(t)\,dt\]

    Dabei ist $T$ der Zeitpunkt des Marktaustritts oder das angegebene Ende des Produktlebenszyklus.

Der EKG-Zyklus

Beim EKG-Zyklus (Erlös – Kosten – Gewinn) werden neben der Erlösfunktion $E(t)$ auch die Kostenfunktion $K(t)$ und die daraus resultierende Gewinnfunktion $G(t)=E(t)-K(t)$ betrachtet.

Typische Funktionsformen

\[\begin{align*} E(t) &= p(t)\cdot e^{-ct} &&\text{(Erlöse)}\\ K(t) &= q(t)\cdot e^{-ct}+K_f &&\text{(variable Kosten + Fixkosten)} \end{align*}\]

Dabei gilt:

  • $E(0)=0$: Zu Beginn werden keine Erlöse erzielt.
  • $K(0)=K_f > 0$: Von Beginn an fallen Fixkosten an.
  • Daraus folgt: $G(0) = -K_f < 0$, d.h. zu Beginn entstehen Verluste.

Kennzahlen des EKG-Zyklus

  • Zeitraum der Kostendeckung:

    Die Kosten werden gedeckt, solange $G(t) \geq 0$ gilt, also

    \[E(t) \geq K(t) \quad\Leftrightarrow\quad G(t) \geq 0\]

    Die Grenzen $t_1$ und $t_2$ dieses Zeitraums bestimmt man durch $G(t)=0$.

  • Gesamtgewinn während des Produktlebenszyklus:

    \[G_{\text{gesamt}}=\int_0^T G(t)\,dt = \int_0^T \big(E(t)-K(t)\big)\,dt\]

    Dabei ist $T$ der Zeitpunkt des Marktaustritts oder das angegebene Ende des Produktlebenszyklus.

Zeitpunkt des maximalen Gesamtverlusts

Da typischerweise $G(0)=-K_f < 0$, startet die Gewinnfunktion im negativen Bereich. Häufig hat $G(t)$ zwei positive Nullstellen $t_1$ und $t_2$:

  • Für $t\in [0;t_1]$ gilt $G(t)<0$ → Die Verluste nehmen zu bzw. die Gewinne nehmen ab
  • Für $t\in[t_1; t_2]$ gilt $G(t)>0$ → Die Verluste nehmen ab bzw. die Gewinne nehmen zu
  • Für $t > t_2$: $G(t)<0$ → Die Verluste nehmen erneut zu bzw. die Gewinne nehmen ab

Damit gibt es zwei Kandidaten für den maximalen Gesamtverlust: $t_1$ und $T$ (Ende des Lebenszyklus).

Das folgende Diagramm verdeutlicht die Situation am Beispiel der Gewinnfunktion

\[G(t)=(-0{,}4t^3+11t^2)\cdot e^{-0{,}2t}-36{,}5.\]
  • Rote Fläche links ($0$ bis $t_1$): Anfangsverluste – $V(t_1)$ entspricht dieser Fläche.
  • Grüne Fläche ($t_1$ bis $t_2$): Gewinnphase – reduziert den kumulierten Verlust.
  • Rote Fläche rechts ($t_2$ bis $T$): Erneute Verluste am Ende des Lebenszyklus.

Falls

\[\int_0^{t_1}G(t)\,dt < \int_0^{T}G(t)\,dt\]

ist, so sind die anfänglichen Verluste größer als ein möglicher Gesamtverlust, und der Zeitpunkt der maximalen Verlusts ist $t_1$.