Produktlebenszyklus: Absatz und Gesamtabsatz eines Produkts

Einführung

Ein Hersteller bringt eine neue Spielkonsole auf den Markt. Die Marketingabteilung erwartet, dass sich der monatliche Absatz gemäß

entwickelt. Dabei ist $t$ die Zeit in Monaten seit der Markteinführung und $a(t)$ der Absatz in Mengeneinheiten pro Monat (ME/Monat), 1 ME entspricht 1000 Konsolen.

Wichtig ist die Einheit: $a(t)$ ist kein Bestand, sondern eine Rate. $a(4)\approx 9{,}89$ bedeutet: Vier Monate nach der Markteinführung werden ca. $9\,890$ Konsolen pro Monat verkauft. Wie viele Konsolen insgesamt verkauft wurden, klären wir erst im Abschnitt zum Gesamtabsatz.

Typisch für einen Produktlebenszyklus ist der Verlauf: Der Absatz steigt zunächst immer schneller, dann langsamer, erreicht ein Maximum und geht anschließend zurück. Die Wendepunkte und der Hochpunkt teilen den Verlauf in vier Phasen:

Die Namen und Grenzen der Phasen werden in der Literatur nicht einheitlich verwendet. In Aufgaben kommt es auf die zugehörigen Kennzahlen an, die wir im Folgenden graphisch und rechnerisch bestimmen.

Statt des Absatzes (ME pro Monat) wird manchmal der Umsatz (GE pro Jahr) betrachtet, meist mit $u(t)$ bezeichnet. Die Mathematik bleibt dieselbe, nur die Einheiten und Formulierungen ändern sich.

Funktionstyp und Ende des Zyklus

Produktlebenszyklusfunktionen sind meist ein Produkt aus einem Polynom $p(t)$ und einer fallenden $e$-Funktion, eventuell mit einem konstanten Summanden $d\ge 0$:

Da $e^{-ct}$ für große $t$ schneller gegen $0$ geht, als jedes Polynom wächst, gilt $p(t)\cdot e^{-ct}\to 0$. Daraus ergeben sich zwei Arten, wie der Zyklus endet:

• Langfristiger Absatz ($d>0$): Der Absatz nähert sich dem Wert $d$, es gilt $\lim\limits_{t\to\infty} a(t)=d$. Der Graph hat die waagrechte Asymptote $y=d$. Bei der Spielkonsole ist $d=4$: Auch langfristig werden ca. $4\,000$ Konsolen pro Monat verkauft. Der Startwert $a(0)=0$ hat damit nichts zu tun – er hängt auch vom Polynom $p$ ab: $a(0)=p(0)+d=-4+4$.
• Marktaustritt ($d=0$ und $p$ hat eine positive Nullstelle $T$): Der Absatz sinkt bei $t=T$ auf null, das Produkt wird vom Markt genommen. Danach ist das Modell nicht mehr sinnvoll.

Kennzahlen graphisch bestimmen

Der Graph der Absatzfunktion

Die Kennzahlen eines Produktlebenszyklus entsprechen typischen Merkmalen des Graphen:

Bei der Spielkonsole liest man ab: Bei der Markteinführung wird noch nichts abgesetzt ($a(0)=0$), nach $8$ Monaten ist der Absatz mit ca. $13{,}2$ ME/Monat am höchsten, und langfristig pendelt er sich bei $4$ ME/Monat ein.

Achtung bei Randstellen: Ist ein Graph schon bei $t=0$ rechtsgekrümmt, steigt der Absatz von Anfang an degressiv. Dann gibt es keinen Wendepunkt mit stärkstem Anstieg, und der stärkste Anstieg liegt bei der Markteinführung.

Der Graph der Ableitungsfunktion

Die Ableitung $a’(t)$ ist die momentane Änderungsrate des monatlichen Absatzes (Einheit: ME/Monat pro Monat). Ihr Graph zeigt, wie schnell sich der Absatz ändert, aber nicht, wie hoch er ist:

• $a’(t)>0$: Der Absatz nimmt zu. $a’(t)<0$: Der Absatz nimmt ab.
• Nullstelle von $a’$ mit Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$: Zeitpunkt des höchsten Absatzes.
• Hochpunkt bzw. Tiefpunkt von $a’$: Zeitpunkt des stärksten Anstiegs bzw. Rückgangs, also die Wendestellen von $a$. Auch hier können Randstellen die Extremwerte liefern.

Bei der Spielkonsole ist $a’(t)=(-0{,}25t^2+1{,}75t+2)\cdot e^{-0{,}25t}$. Der Graph von $a’$ hat seinen Hochpunkt bei $t\approx 1{,}48$, seine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei $t=8$ und seinen Tiefpunkt bei $t\approx 13{,}52$. Das sind genau die Phasengrenzen von oben.

Kennzahlen rechnerisch bestimmen

Für die rechnerische Bestimmung braucht man $a$, $a’$ und $a’’$ (die Ableitungen werden mit Produkt- und Kettenregel gebildet und in Aufgaben oft vorgegeben). Entscheidend ist eine Eigenschaft der $e$-Funktion:

Bei Gleichungen wie $a’(t)=0$ oder $a’‘(t)=0$ genügt es deshalb, den Klammerterm null zu setzen. Bei der Spielkonsole:

Ob tatsächlich ein Hochpunkt bzw. eine Wendestelle vorliegt, zeigt der Vorzeichenwechsel des Klammerterms: $-0{,}25t^2+1{,}75t+2$ wechselt bei $t=8$ von $+$ nach $-$, also liegt dort ein Maximum ($t=-1$ liegt außerhalb des Zeitraums). Alternativ prüft man $a’‘(8)<0$. Kandidaten außerhalb des betrachteten Zeitraums werden verworfen, und die Randstellen (z. B. $t=0$) werden immer mitgeprüft.

Den langfristigen Absatz erhält man über den Grenzwert $\lim\limits_{t\to\infty} a(t)$, den Marktaustritt über die positive Nullstelle von $p(t)$.

Häufig wird auch nach einem Zeitraum gefragt, in dem der Absatz über einem Schwellenwert $c$ liegt, etwa weil ab $10$ ME/Monat zusätzliches Personal nötig ist. Dazu löst man $a(t)=c$ mit dem Rechner. Zwischen den beiden Lösungen liegt der Absatz über $c$, sofern das Maximum größer als $c$ ist. Bei der Spielkonsole ergibt $a(t)=10$ die Lösungen $t_1\approx 4{,}06$ und $t_2\approx 14{,}33$.

Gesamtabsatz als Fläche unter dem Graphen

Wie viele Konsolen werden im ersten Halbjahr insgesamt verkauft? Die Funktionswerte $a(t)$ beantworten das nicht, denn sie geben nur an, wie viel pro Monat verkauft wird.

Denken wir uns den Zeitraum in einzelne Monate zerlegt: Wird in einem Monat etwa $a(t)$ ME pro Monat abgesetzt, dann sind das in diesem Monat

Jeder Monatsabsatz ist also die Fläche eines schmalen Rechtecks unter dem Graphen. Addiert man die Rechtecke, erhält man den Gesamtabsatz, und mit immer schmaleren Streifen genau die Fläche unter dem Graphen:

Im folgenden Widget kannst du den Zeitraum verändern und die Monatsbalken einblenden. Der rechte Graph zeigt den kumulierten Absatz $A(t)=\int_0^t a(s)\,ds$, also die bis zum Zeitpunkt $t$ insgesamt verkauften ME. Die Differenz $A(t_2)-A(t_1)$ ist genau die markierte Fläche.

Für das erste Halbjahr ergibt sich $\int_0^6 a(t)\,dt\approx 43{,}11$ ME, also ca. $43\,110$ Konsolen.

Ohne Rechner lässt sich die Fläche abschätzen:

• Kästchen zählen: Ein Kästchen im Koordinatensystem entspricht Breite $\cdot$ Höhe, z. B. $1$ Monat $\cdot\ 2$ ME/Monat $=2$ ME.
• Rechtecke: Liegt der Graph auf $[t_1;t_2]$ zwischen den Werten $m$ und $M$, dann liegt die Fläche zwischen $(t_2-t_1)\cdot m$ und $(t_2-t_1)\cdot M$. Damit lassen sich Aussagen wie „Im ersten Halbjahr werden mindestens $60$ ME abgesetzt“ prüfen: Auf $[0;6]$ ist $a(t)\le a(6)\approx 12{,}48$, also ist der Gesamtabsatz kleiner als $6\cdot 12{,}48\approx 75$ ME. Diese grobe Grenze reicht hier noch nicht aus. Mit den Monatsbalken (rechte Ränder) ergibt sich die engere Grenze $a(1)+a(2)+\dots+a(6)\approx 49{,}2$ ME, die Aussage ist also falsch.

Der durchschnittliche monatliche Absatz ist die Höhe des Rechtecks, das über demselben Zeitraum dieselbe Fläche hat. Im ersten Halbjahr: $\frac{43{,}11}{6}\approx 7{,}19$ ME/Monat.

Kennzahlen mit Integralen berechnen

Mit dem Rechner werden die Integrale exakt bestimmt. Man muss dabei genau unterscheiden zwischen dem monatlichen Absatz $a(t)$ (Funktionswert, ME/Monat) und dem Gesamtabsatz (Integral, ME).

Dabei ist $T$ der Zeitpunkt des Marktaustritts oder das in der Aufgabe angegebene Ende des Lebenszyklus.

Bei der Spielkonsole gilt zum Beispiel $\int_0^{z} a(t)\,dt=100 \Rightarrow z\approx 10{,}39$: Nach knapp $10{,}4$ Monaten sind $100\,000$ Konsolen verkauft.

Ob ein Gesamtabsatz überhaupt erreicht wird, hängt vom Ende des Zyklus ab: Mit Marktaustritt ist der Gesamtabsatz durch $\int_0^T a(t)\,dt$ begrenzt. Bei einem langfristigen Absatz $d>0$ kommen jeden Monat ca. $d$ ME hinzu, der Gesamtabsatz wächst unbegrenzt.